Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15681 / 9893
↖ ↑ ↗
← N 57.862288°
W  7.723389°		 ← 649.86 m → N 57.862288°
W  7.712402°		 →
↑
649.91 m
↓
↑
649.91 m
↓
N 57.856443°
W  7.723389°		 ← 649.96 m →
422 381 m²		 N 57.856443°
W  7.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478561401367188 y=0.301925659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478561401367188 × 215)
    floor (0.478561401367188 × 32768)
    floor (15681.5)     		tx = 15681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301925659179688 × 215)
    floor (0.301925659179688 × 32768)
    floor (9893.5)     		ty = 9893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15681 / 9893 ti = "15/15681/9893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15681/9893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15681 ÷ 215
    15681 ÷ 32768     		x = 0.478546142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9893 ÷ 215
    9893 ÷ 32768     		y = 0.301910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.04290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13479856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301910400390625 × 2 - 1) × π
    0.39617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24463366173514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13479856} λ = -0.13479856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24463366173514))-π/2
    2×atan(3.4716627634404)-π/2
    2×1.29034188250577-π/2
    2.58068376501154-1.57079632675     		φ = 1.00988744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13479856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00988744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.862288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15681 KachelY 9893 -0.13479856 1.00988744 -7.723389 57.862288
    Oben rechts KachelX + 1 15682 KachelY 9893 -0.13460681 1.00988744 -7.712402 57.862288
    Unten links KachelX 15681 KachelY + 1 9894 -0.13479856 1.00978543 -7.723389 57.856443
    Unten rechts KachelX + 1 15682 KachelY + 1 9894 -0.13460681 1.00978543 -7.712402 57.856443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00988744-1.00978543) × R
    0.000102009999999986 × 6371000     		dl = 649.905709999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00988744-1.00978543) × R
    0.000102009999999986 × 6371000     		dr = 649.905709999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13479856--0.13460681) × cos(1.00988744) × R
    0.000191750000000018 × 0.531956037397312 × 6371000     		do = 649.858374559087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13479856--0.13460681) × cos(1.00978543) × R
    0.000191750000000018 × 0.532042413838351 × 6371000     		du = 649.963895409735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00988744)-sin(1.00978543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531956037397312-0.532042413838351)×R²
    abs(-0.13460681--0.13479856)×8.63764410391488e-05×R²
    0.000191750000000018×8.63764410391488e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.63764410391488e-05×40589641000000     		ar = 422380.957985263m²