Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15680 / 9792
↖ ↑ ↗
← N 77.389504°
W 93.867187°		 ← 133.35 m → N 77.389504°
W 93.861694°		 →
↑
133.35 m
↓
↑
133.35 m
↓
N 77.388305°
W 93.867187°		 ← 133.36 m →
17 782 m²		 N 77.388305°
W 93.861694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239265441894531 y=0.149421691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239265441894531 × 216)
    floor (0.239265441894531 × 65536)
    floor (15680.5)     		tx = 15680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149421691894531 × 216)
    floor (0.149421691894531 × 65536)
    floor (9792.5)     		ty = 9792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15680 / 9792 ti = "16/15680/9792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15680/9792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15680 ÷ 216
    15680 ÷ 65536     		x = 0.2392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9792 ÷ 216
    9792 ÷ 65536     		y = 0.1494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2392578125 × 2 - 1) × π
    -0.521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.63829148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    0.701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20279641134082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63829148} λ = -1.63829148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20279641134082))-π/2
    2×atan(9.0502864698762)-π/2
    2×1.46074898908034-π/2
    2.92149797816067-1.57079632675     		φ = 1.35070165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63829148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35070165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.389504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15680 KachelY 9792 -1.63829148 1.35070165 -93.867187 77.389504
    Oben rechts KachelX + 1 15681 KachelY 9792 -1.63819561 1.35070165 -93.861694 77.389504
    Unten links KachelX 15680 KachelY + 1 9793 -1.63829148 1.35068072 -93.867187 77.388305
    Unten rechts KachelX + 1 15681 KachelY + 1 9793 -1.63819561 1.35068072 -93.861694 77.388305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35070165-1.35068072) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dl = 133.345030000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35070165-1.35068072) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dr = 133.345030000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63829148--1.63819561) × cos(1.35070165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21832201694531 × 6371000     		do = 133.348417871925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63829148--1.63819561) × cos(1.35068072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218342441998571 × 6371000     		du = 133.360893244659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35070165)-sin(1.35068072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21832201694531-0.218342441998571)×R²
    abs(-1.63819561--1.63829148)×2.04250532612471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04250532612471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04250532612471e-05×40589641000000     		ar = 17782.1805466318m²