Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15680 / 6569
↖ ↑ ↗
← N 72.682495°
W  7.734375°		 ← 363.64 m → N 72.682495°
W  7.723389°		 →
↑
363.72 m
↓
↑
363.72 m
↓
N 72.679224°
W  7.734375°		 ← 363.71 m →
132 276 m²		 N 72.679224°
W  7.723389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478530883789062 y=0.200485229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478530883789062 × 215)
    floor (0.478530883789062 × 32768)
    floor (15680.5)     		tx = 15680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200485229492188 × 215)
    floor (0.200485229492188 × 32768)
    floor (6569.5)     		ty = 6569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15680 / 6569 ti = "15/15680/6569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15680/6569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15680 ÷ 215
    15680 ÷ 32768     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6569 ÷ 215
    6569 ÷ 32768     		y = 0.200469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200469970703125 × 2 - 1) × π
    0.59906005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8820026790834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8820026790834))-π/2
    2×atan(6.56664258022723)-π/2
    2×1.41967258635937-π/2
    2.83934517271873-1.57079632675     		φ = 1.26854885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26854885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.682495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15680 KachelY 6569 -0.13499031 1.26854885 -7.734375 72.682495
    Oben rechts KachelX + 1 15681 KachelY 6569 -0.13479856 1.26854885 -7.723389 72.682495
    Unten links KachelX 15680 KachelY + 1 6570 -0.13499031 1.26849176 -7.734375 72.679224
    Unten rechts KachelX + 1 15681 KachelY + 1 6570 -0.13479856 1.26849176 -7.723389 72.679224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26854885-1.26849176) × R
    5.70899999998709e-05 × 6371000     		dl = 363.720389999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26854885-1.26849176) × R
    5.70899999998709e-05 × 6371000     		dr = 363.720389999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13479856) × cos(1.26854885) × R
    0.000191749999999991 × 0.297666555085997 × 6371000     		do = 363.641147105323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13479856) × cos(1.26849176) × R
    0.000191749999999991 × 0.297721056705591 × 6371000     		du = 363.707728423008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26854885)-sin(1.26849176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297666555085997-0.297721056705591)×R²
    abs(-0.13479856--0.13499031)×5.45016195938053e-05×R²
    0.000191749999999991×5.45016195938053e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.45016195938053e-05×40589641000000     		ar = 132275.808372979m²