Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15680 / 21695
↖ ↑ ↗
← N 76.059170°
W136.933594°		 ← 73.58 m → N 76.059170°
W136.930847°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.058508°
W136.933594°		 ← 73.59 m →
5 415 m²		 N 76.058508°
W136.930847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119632720947266 y=0.165523529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119632720947266 × 217)
    floor (0.119632720947266 × 131072)
    floor (15680.5)     		tx = 15680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165523529052734 × 217)
    floor (0.165523529052734 × 131072)
    floor (21695.5)     		ty = 21695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15680 / 21695 ti = "17/15680/21695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15680/21695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15680 ÷ 217
    15680 ÷ 131072     		x = 0.11962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21695 ÷ 217
    21695 ÷ 131072     		y = 0.165519714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    -0.7607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38994207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165519714355469 × 2 - 1) × π
    0.668960571289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.10160161624288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38994207} λ = -2.38994207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10160161624288))-π/2
    2×atan(8.17925946236145)-π/2
    2×1.44913963165884-π/2
    2.89827926331769-1.57079632675     		φ = 1.32748294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38994207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32748294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.059170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15680 KachelY 21695 -2.38994207 1.32748294 -136.933594 76.059170
    Oben rechts KachelX + 1 15681 KachelY 21695 -2.38989413 1.32748294 -136.930847 76.059170
    Unten links KachelX 15680 KachelY + 1 21696 -2.38994207 1.32747139 -136.933594 76.058508
    Unten rechts KachelX + 1 15681 KachelY + 1 21696 -2.38989413 1.32747139 -136.930847 76.058508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32748294-1.32747139) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32748294-1.32747139) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38994207--2.38989413) × cos(1.32748294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240919734145718 × 6371000     		do = 73.583088082011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38994207--2.38989413) × cos(1.32747139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240930943924902 × 6371000     		du = 73.5865118371135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32748294)-sin(1.32747139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240919734145718-0.240930943924902)×R²
    abs(-2.38989413--2.38994207)×1.12097791839239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12097791839239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12097791839239e-05×40589641000000     		ar = 5414.74118424459m²