Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15679 / 6594
↖ ↑ ↗
← N 72.600551°
W  7.745362°		 ← 365.31 m → N 72.600551°
W  7.734375°		 →
↑
365.38 m
↓
↑
365.38 m
↓
N 72.597265°
W  7.745362°		 ← 365.38 m →
133 488 m²		 N 72.597265°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478500366210938 y=0.201248168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478500366210938 × 215)
    floor (0.478500366210938 × 32768)
    floor (15679.5)     		tx = 15679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201248168945312 × 215)
    floor (0.201248168945312 × 32768)
    floor (6594.5)     		ty = 6594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15679 / 6594 ti = "15/15679/6594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15679/6594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15679 ÷ 215
    15679 ÷ 32768     		x = 0.478485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6594 ÷ 215
    6594 ÷ 32768     		y = 0.20123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.04302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13518206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20123291015625 × 2 - 1) × π
    0.5975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8772089891214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13518206} λ = -0.13518206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8772089891214))-π/2
    2×atan(6.5352394601526)-π/2
    2×1.41895749097423-π/2
    2.83791498194845-1.57079632675     		φ = 1.26711866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13518206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.745362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26711866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.600551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15679 KachelY 6594 -0.13518206 1.26711866 -7.745362 72.600551
    Oben rechts KachelX + 1 15680 KachelY 6594 -0.13499031 1.26711866 -7.734375 72.600551
    Unten links KachelX 15679 KachelY + 1 6595 -0.13518206 1.26706131 -7.745362 72.597265
    Unten rechts KachelX + 1 15680 KachelY + 1 6595 -0.13499031 1.26706131 -7.734375 72.597265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26711866-1.26706131) × R
    5.7349999999845e-05 × 6371000     		dl = 365.376849999013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26711866-1.26706131) × R
    5.7349999999845e-05 × 6371000     		dr = 365.376849999013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13518206--0.13499031) × cos(1.26711866) × R
    0.000191749999999991 × 0.299031609537828 × 6371000     		do = 365.308751202067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13518206--0.13499031) × cos(1.26706131) × R
    0.000191749999999991 × 0.29908633489391 × 6371000     		du = 365.375605845027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26711866)-sin(1.26706131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299031609537828-0.29908633489391)×R²
    abs(-0.13499031--0.13518206)×5.47253560821415e-05×R²
    0.000191749999999991×5.47253560821415e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.47253560821415e-05×40589641000000     		ar = 133487.574397305m²