Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15678 / 6570
↖ ↑ ↗
← N 72.679224°
W  7.756347°		 ← 363.69 m → N 72.679224°
W  7.745362°		 →
↑
363.72 m
↓
↑
363.72 m
↓
N 72.675953°
W  7.756347°		 ← 363.76 m →
132 293 m²		 N 72.675953°
W  7.745362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478469848632812 y=0.200515747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478469848632812 × 215)
    floor (0.478469848632812 × 32768)
    floor (15678.5)     		tx = 15678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200515747070312 × 215)
    floor (0.200515747070312 × 32768)
    floor (6570.5)     		ty = 6570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15678 / 6570 ti = "15/15678/6570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15678/6570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15678 ÷ 215
    15678 ÷ 32768     		x = 0.47845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6570 ÷ 215
    6570 ÷ 32768     		y = 0.20050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13537380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20050048828125 × 2 - 1) × π
    0.5989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88181093148492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13537380} λ = -0.13537380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88181093148492))-π/2
    2×atan(6.56538356299301)-π/2
    2×1.41964404532325-π/2
    2.83928809064649-1.57079632675     		φ = 1.26849176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13537380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26849176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.679224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15678 KachelY 6570 -0.13537380 1.26849176 -7.756347 72.679224
    Oben rechts KachelX + 1 15679 KachelY 6570 -0.13518206 1.26849176 -7.745362 72.679224
    Unten links KachelX 15678 KachelY + 1 6571 -0.13537380 1.26843467 -7.756347 72.675953
    Unten rechts KachelX + 1 15679 KachelY + 1 6571 -0.13518206 1.26843467 -7.745362 72.675953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26849176-1.26843467) × R
    5.70900000000929e-05 × 6371000     		dl = 363.720390000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26849176-1.26843467) × R
    5.70900000000929e-05 × 6371000     		dr = 363.720390000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13537380--0.13518206) × cos(1.26849176) × R
    0.000191739999999996 × 0.297721056705591 × 6371000     		do = 363.688760614495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13537380--0.13518206) × cos(1.26843467) × R
    0.000191739999999996 × 0.297775557354832 × 6371000     		du = 363.755337274522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26849176)-sin(1.26843467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297721056705591-0.297775557354832)×R²
    abs(-0.13518206--0.13537380)×5.45006492412847e-05×R²
    0.000191739999999996×5.45006492412847e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.45006492412847e-05×40589641000000     		ar = 132293.125529076m²