Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15677 / 18745
↖ ↑ ↗
← S 25.095549°
W  7.767334°		 ← 1 106.32 m → S 25.095549°
W  7.756347°		 →
↑
1 106.26 m
↓
↑
1 106.26 m
↓
S 25.105497°
W  7.767334°		 ← 1 106.23 m →
1 223 827 m²		 S 25.105497°
W  7.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478439331054688 y=0.572067260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478439331054688 × 215)
    floor (0.478439331054688 × 32768)
    floor (15677.5)     		tx = 15677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572067260742188 × 215)
    floor (0.572067260742188 × 32768)
    floor (18745.5)     		ty = 18745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15677 / 18745 ti = "15/15677/18745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15677/18745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15677 ÷ 215
    15677 ÷ 32768     		x = 0.478424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18745 ÷ 215
    18745 ÷ 32768     		y = 0.572052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.04315185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13556555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.14410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.45271608001181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13556555} λ = -0.13556555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.45271608001181))-π/2
    2×atan(0.635898652336628)-π/2
    2×0.566398188598233-π/2
    1.13279637719647-1.57079632675     		φ = -0.43799995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13556555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.767334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43799995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.095549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15677 KachelY 18745 -0.13556555 -0.43799995 -7.767334 -25.095549
    Oben rechts KachelX + 1 15678 KachelY 18745 -0.13537380 -0.43799995 -7.756347 -25.095549
    Unten links KachelX 15677 KachelY + 1 18746 -0.13556555 -0.43817359 -7.767334 -25.105497
    Unten rechts KachelX + 1 15678 KachelY + 1 18746 -0.13537380 -0.43817359 -7.756347 -25.105497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43799995--0.43817359) × R
    0.000173639999999975 × 6371000     		dl = 1106.26043999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43799995--0.43817359) × R
    0.000173639999999975 × 6371000     		dr = 1106.26043999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13556555--0.13537380) × cos(-0.43799995) × R
    0.000191750000000018 × 0.905601753285907 × 6371000     		do = 1106.31864668299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13556555--0.13537380) × cos(-0.43817359) × R
    0.000191750000000018 × 0.905528093862963 × 6371000     		du = 1106.22866144079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43799995)-sin(-0.43817359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905601753285907-0.905528093862963)×R²
    abs(-0.13537380--0.13556555)×7.36594229443499e-05×R²
    0.000191750000000018×7.36594229443499e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.36594229443499e-05×40589641000000     		ar = 1223826.78237786m²