Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15676 / 18744
↖ ↑ ↗
← S 25.085599°
W  7.778320°		 ← 1 106.41 m → S 25.085599°
W  7.767334°		 →
↑
1 106.32 m
↓
↑
1 106.32 m
↓
S 25.095549°
W  7.778320°		 ← 1 106.32 m →
1 223 997 m²		 S 25.095549°
W  7.767334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478408813476562 y=0.572036743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478408813476562 × 215)
    floor (0.478408813476562 × 32768)
    floor (15676.5)     		tx = 15676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572036743164062 × 215)
    floor (0.572036743164062 × 32768)
    floor (18744.5)     		ty = 18744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15676 / 18744 ti = "15/15676/18744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15676/18744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15676 ÷ 215
    15676 ÷ 32768     		x = 0.4783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18744 ÷ 215
    18744 ÷ 32768     		y = 0.572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.14404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.45252433241333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13575730} λ = -0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.45252433241333))-π/2
    2×atan(0.636020596066925)-π/2
    2×0.566485015609086-π/2
    1.13297003121817-1.57079632675     		φ = -0.43782630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43782630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.085599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15676 KachelY 18744 -0.13575730 -0.43782630 -7.778320 -25.085599
    Oben rechts KachelX + 1 15677 KachelY 18744 -0.13556555 -0.43782630 -7.767334 -25.085599
    Unten links KachelX 15676 KachelY + 1 18745 -0.13575730 -0.43799995 -7.778320 -25.095549
    Unten rechts KachelX + 1 15677 KachelY + 1 18745 -0.13556555 -0.43799995 -7.767334 -25.095549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43782630--0.43799995) × R
    0.000173650000000025 × 6371000     		dl = 1106.32415000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43782630--0.43799995) × R
    0.000173650000000025 × 6371000     		dr = 1106.32415000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13575730--0.13556555) × cos(-0.43782630) × R
    0.000191749999999991 × 0.905675389643908 × 6371000     		do = 1106.40860374799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13575730--0.13556555) × cos(-0.43799995) × R
    0.000191749999999991 × 0.905601753285907 × 6371000     		du = 1106.31864668283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43782630)-sin(-0.43799995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905675389643908-0.905601753285907)×R²
    abs(-0.13556555--0.13575730)×7.36363580001731e-05×R²
    0.000191749999999991×7.36363580001731e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.36363580001731e-05×40589641000000     		ar = 1223996.80033305m²