Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15675 / 6575
↖ ↑ ↗
← N 72.662863°
W  7.789307°		 ← 364.04 m → N 72.662863°
W  7.778320°		 →
↑
364.10 m
↓
↑
364.10 m
↓
N 72.659588°
W  7.789307°		 ← 364.11 m →
132 560 m²		 N 72.659588°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478378295898438 y=0.200668334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478378295898438 × 215)
    floor (0.478378295898438 × 32768)
    floor (15675.5)     		tx = 15675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200668334960938 × 215)
    floor (0.200668334960938 × 32768)
    floor (6575.5)     		ty = 6575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15675 / 6575 ti = "15/15675/6575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15675/6575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15675 ÷ 215
    15675 ÷ 32768     		x = 0.478363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6575 ÷ 215
    6575 ÷ 32768     		y = 0.200653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.04327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13594905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200653076171875 × 2 - 1) × π
    0.59869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88085219349252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13594905} λ = -0.13594905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88085219349252))-π/2
    2×atan(6.55909209675226)-π/2
    2×1.41950126175062-π/2
    2.83900252350125-1.57079632675     		φ = 1.26820620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13594905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26820620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.662863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15675 KachelY 6575 -0.13594905 1.26820620 -7.789307 72.662863
    Oben rechts KachelX + 1 15676 KachelY 6575 -0.13575730 1.26820620 -7.778320 72.662863
    Unten links KachelX 15675 KachelY + 1 6576 -0.13594905 1.26814905 -7.789307 72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 15676 KachelY + 1 6576 -0.13575730 1.26814905 -7.778320 72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26820620-1.26814905) × R
    5.71499999999503e-05 × 6371000     		dl = 364.102649999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26820620-1.26814905) × R
    5.71499999999503e-05 × 6371000     		dr = 364.102649999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13594905--0.13575730) × cos(1.26820620) × R
    0.000191749999999991 × 0.297993655247182 × 6371000     		do = 364.040745500908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13594905--0.13575730) × cos(1.26814905) × R
    0.000191749999999991 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 364.107389667531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26820620)-sin(1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297993655247182-0.298048208313173)×R²
    abs(-0.13575730--0.13594905)×5.45530659911142e-05×R²
    0.000191749999999991×5.45530659911142e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.45530659911142e-05×40589641000000     		ar = 132560.332839148m²