Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15674 / 8509
↖ ↑ ↗
← N 65.086018°
W  7.800293°		 ← 514.60 m → N 65.086018°
W  7.789307°		 →
↑
514.65 m
↓
↑
514.65 m
↓
N 65.081390°
W  7.800293°		 ← 514.69 m →
264 860 m²		 N 65.081390°
W  7.789307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478347778320312 y=0.259689331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478347778320312 × 215)
    floor (0.478347778320312 × 32768)
    floor (15674.5)     		tx = 15674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259689331054688 × 215)
    floor (0.259689331054688 × 32768)
    floor (8509.5)     		ty = 8509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15674 / 8509 ti = "15/15674/8509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15674/8509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15674 ÷ 215
    15674 ÷ 32768     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8509 ÷ 215
    8509 ÷ 32768     		y = 0.259674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259674072265625 × 2 - 1) × π
    0.48065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51001233803177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51001233803177))-π/2
    2×atan(4.52678664560715)-π/2
    2×1.35338081820882-π/2
    2.70676163641763-1.57079632675     		φ = 1.13596531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13596531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.086018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15674 KachelY 8509 -0.13614079 1.13596531 -7.800293 65.086018
    Oben rechts KachelX + 1 15675 KachelY 8509 -0.13594905 1.13596531 -7.789307 65.086018
    Unten links KachelX 15674 KachelY + 1 8510 -0.13614079 1.13588453 -7.800293 65.081390
    Unten rechts KachelX + 1 15675 KachelY + 1 8510 -0.13594905 1.13588453 -7.789307 65.081390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13596531-1.13588453) × R
    8.07800000000025e-05 × 6371000     		dl = 514.649380000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13596531-1.13588453) × R
    8.07800000000025e-05 × 6371000     		dr = 514.649380000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13594905) × cos(1.13596531) × R
    0.000191740000000024 × 0.421257149544262 × 6371000     		do = 514.597429933456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13594905) × cos(1.13588453) × R
    0.000191740000000024 × 0.421330410883163 × 6371000     		du = 514.686924193085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13596531)-sin(1.13588453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421257149544262-0.421330410883163)×R²
    abs(-0.13594905--0.13614079)×7.3261338901065e-05×R²
    0.000191740000000024×7.3261338901065e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.3261338901065e-05×40589641000000     		ar = 264860.277491319m²