Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15674 / 6589
↖ ↑ ↗
← N 72.616970°
W  7.800293°		 ← 364.96 m → N 72.616970°
W  7.789307°		 →
↑
364.99 m
↓
↑
364.99 m
↓
N 72.613688°
W  7.800293°		 ← 365.02 m →
133 219 m²		 N 72.613688°
W  7.789307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478347778320312 y=0.201095581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478347778320312 × 215)
    floor (0.478347778320312 × 32768)
    floor (15674.5)     		tx = 15674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201095581054688 × 215)
    floor (0.201095581054688 × 32768)
    floor (6589.5)     		ty = 6589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15674 / 6589 ti = "15/15674/6589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15674/6589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15674 ÷ 215
    15674 ÷ 32768     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6589 ÷ 215
    6589 ÷ 32768     		y = 0.201080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201080322265625 × 2 - 1) × π
    0.59783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8781677271138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8781677271138))-π/2
    2×atan(6.54150804699851)-π/2
    2×1.41910077190533-π/2
    2.83820154381065-1.57079632675     		φ = 1.26740522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26740522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.616970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15674 KachelY 6589 -0.13614079 1.26740522 -7.800293 72.616970
    Oben rechts KachelX + 1 15675 KachelY 6589 -0.13594905 1.26740522 -7.789307 72.616970
    Unten links KachelX 15674 KachelY + 1 6590 -0.13614079 1.26734793 -7.800293 72.613688
    Unten rechts KachelX + 1 15675 KachelY + 1 6590 -0.13594905 1.26734793 -7.789307 72.613688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26740522-1.26734793) × R
    5.72900000002097e-05 × 6371000     		dl = 364.994590001336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26740522-1.26734793) × R
    5.72900000002097e-05 × 6371000     		dr = 364.994590001336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13594905) × cos(1.26740522) × R
    0.000191740000000024 × 0.298758149330679 × 6371000     		do = 364.95564759807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13594905) × cos(1.26734793) × R
    0.000191740000000024 × 0.29881282234061 × 6371000     		du = 365.0224348097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26740522)-sin(1.26734793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298758149330679-0.29881282234061)×R²
    abs(-0.13594905--0.13614079)×5.46730099313386e-05×R²
    0.000191740000000024×5.46730099313386e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.46730099313386e-05×40589641000000     		ar = 133219.025485612m²