Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15674 / 16570
↖ ↑ ↗
← N 79.074935°
W136.950073°		 ← 57.89 m → N 79.074935°
W136.947327°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.074415°
W136.950073°		 ← 57.89 m →
3 349 m²		 N 79.074415°
W136.947327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119586944580078 y=0.126422882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119586944580078 × 217)
    floor (0.119586944580078 × 131072)
    floor (15674.5)     		tx = 15674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126422882080078 × 217)
    floor (0.126422882080078 × 131072)
    floor (16570.5)     		ty = 16570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15674 / 16570 ti = "17/15674/16570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15674/16570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15674 ÷ 217
    15674 ÷ 131072     		x = 0.119583129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16570 ÷ 217
    16570 ÷ 131072     		y = 0.126419067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119583129882812 × 2 - 1) × π
    -0.760833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39022969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126419067382812 × 2 - 1) × π
    0.747161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34727822679567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39022969} λ = -2.39022969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34727822679567))-π/2
    2×atan(10.457069185615)-π/2
    2×1.47545715554275-π/2
    2.9509143110855-1.57079632675     		φ = 1.38011798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39022969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38011798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.074935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15674 KachelY 16570 -2.39022969 1.38011798 -136.950073 79.074935
    Oben rechts KachelX + 1 15675 KachelY 16570 -2.39018175 1.38011798 -136.947327 79.074935
    Unten links KachelX 15674 KachelY + 1 16571 -2.39022969 1.38010890 -136.950073 79.074415
    Unten rechts KachelX + 1 15675 KachelY + 1 16571 -2.39018175 1.38010890 -136.947327 79.074415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38011798-1.38010890) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38011798-1.38010890) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39022969--2.39018175) × cos(1.38011798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189524990898758 × 6371000     		do = 57.8858105937084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39022969--2.39018175) × cos(1.38010890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189533906324093 × 6371000     		du = 57.8885335940888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38011798)-sin(1.38010890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189524990898758-0.189533906324093)×R²
    abs(-2.39018175--2.39022969)×8.91542533520973e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91542533520973e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91542533520973e-06×40589641000000     		ar = 3348.69649473306m²