Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15672 / 7193
↖ ↑ ↗
← N 70.521234°
W  7.822266°		 ← 407.36 m → N 70.521234°
W  7.811279°		 →
↑
407.43 m
↓
↑
407.43 m
↓
N 70.517570°
W  7.822266°		 ← 407.44 m →
165 986 m²		 N 70.517570°
W  7.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478286743164062 y=0.219528198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478286743164062 × 215)
    floor (0.478286743164062 × 32768)
    floor (15672.5)     		tx = 15672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219528198242188 × 215)
    floor (0.219528198242188 × 32768)
    floor (7193.5)     		ty = 7193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15672 / 7193 ti = "15/15672/7193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15672/7193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15672 ÷ 215
    15672 ÷ 32768     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7193 ÷ 215
    7193 ÷ 32768     		y = 0.219512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219512939453125 × 2 - 1) × π
    0.56097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76235217763174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76235217763174))-π/2
    2×atan(5.8261253715935)-π/2
    2×1.40081202707369-π/2
    2.80162405414738-1.57079632675     		φ = 1.23082773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23082773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.521234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15672 KachelY 7193 -0.13652429 1.23082773 -7.822266 70.521234
    Oben rechts KachelX + 1 15673 KachelY 7193 -0.13633254 1.23082773 -7.811279 70.521234
    Unten links KachelX 15672 KachelY + 1 7194 -0.13652429 1.23076378 -7.822266 70.517570
    Unten rechts KachelX + 1 15673 KachelY + 1 7194 -0.13633254 1.23076378 -7.811279 70.517570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23082773-1.23076378) × R
    6.39499999999238e-05 × 6371000     		dl = 407.425449999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23082773-1.23076378) × R
    6.39499999999238e-05 × 6371000     		dr = 407.425449999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13633254) × cos(1.23082773) × R
    0.000191749999999991 × 0.33345748645826 × 6371000     		do = 407.364753663733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13633254) × cos(1.23076378) × R
    0.000191749999999991 × 0.333517775606915 × 6371000     		du = 407.43840525408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23082773)-sin(1.23076378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33345748645826-0.333517775606915)×R²
    abs(-0.13633254--0.13652429)×6.0289148655801e-05×R²
    0.000191749999999991×6.0289148655801e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.0289148655801e-05×40589641000000     		ar = 165985.771898054m²