Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15672 / 6872
↖ ↑ ↗
← N 71.663663°
W  7.822266°		 ← 384.32 m → N 71.663663°
W  7.811279°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
N 71.660206°
W  7.822266°		 ← 384.39 m →
147 732 m²		 N 71.660206°
W  7.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478286743164062 y=0.209732055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478286743164062 × 215)
    floor (0.478286743164062 × 32768)
    floor (15672.5)     		tx = 15672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209732055664062 × 215)
    floor (0.209732055664062 × 32768)
    floor (6872.5)     		ty = 6872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15672 / 6872 ti = "15/15672/6872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15672/6872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15672 ÷ 215
    15672 ÷ 32768     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6872 ÷ 215
    6872 ÷ 32768     		y = 0.209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209716796875 × 2 - 1) × π
    0.58056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8239031567439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8239031567439))-π/2
    2×atan(6.19599525503856)-π/2
    2×1.41078159948557-π/2
    2.82156319897114-1.57079632675     		φ = 1.25076687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25076687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.663663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15672 KachelY 6872 -0.13652429 1.25076687 -7.822266 71.663663
    Oben rechts KachelX + 1 15673 KachelY 6872 -0.13633254 1.25076687 -7.811279 71.663663
    Unten links KachelX 15672 KachelY + 1 6873 -0.13652429 1.25070654 -7.822266 71.660206
    Unten rechts KachelX + 1 15673 KachelY + 1 6873 -0.13633254 1.25070654 -7.811279 71.660206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25076687-1.25070654) × R
    6.03300000001639e-05 × 6371000     		dl = 384.362430001044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25076687-1.25070654) × R
    6.03300000001639e-05 × 6371000     		dr = 384.362430001044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13633254) × cos(1.25076687) × R
    0.000191749999999991 × 0.314594521912658 × 6371000     		do = 384.321015803469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13633254) × cos(1.25070654) × R
    0.000191749999999991 × 0.31465178815383 × 6371000     		du = 384.390974491384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25076687)-sin(1.25070654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314594521912658-0.31465178815383)×R²
    abs(-0.13633254--0.13652429)×5.72662411720271e-05×R²
    0.000191749999999991×5.72662411720271e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.72662411720271e-05×40589641000000     		ar = 147732.00432567m²