Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15671 / 8527
↖ ↑ ↗
← N 65.002582°
W  7.833252°		 ← 516.24 m → N 65.002582°
W  7.822266°		 →
↑
516.24 m
↓
↑
516.24 m
↓
N 64.997939°
W  7.833252°		 ← 516.33 m →
266 527 m²		 N 64.997939°
W  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478256225585938 y=0.260238647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478256225585938 × 215)
    floor (0.478256225585938 × 32768)
    floor (15671.5)     		tx = 15671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260238647460938 × 215)
    floor (0.260238647460938 × 32768)
    floor (8527.5)     		ty = 8527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15671 / 8527 ti = "15/15671/8527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15671/8527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15671 ÷ 215
    15671 ÷ 32768     		x = 0.478240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8527 ÷ 215
    8527 ÷ 32768     		y = 0.260223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260223388671875 × 2 - 1) × π
    0.47955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50656088125912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13671604} λ = -0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50656088125912))-π/2
    2×atan(4.51118956898214)-π/2
    2×1.35265270404218-π/2
    2.70530540808435-1.57079632675     		φ = 1.13450908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13450908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.002582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15671 KachelY 8527 -0.13671604 1.13450908 -7.833252 65.002582
    Oben rechts KachelX + 1 15672 KachelY 8527 -0.13652429 1.13450908 -7.822266 65.002582
    Unten links KachelX 15671 KachelY + 1 8528 -0.13671604 1.13442805 -7.833252 64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 15672 KachelY + 1 8528 -0.13652429 1.13442805 -7.822266 64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13450908-1.13442805) × R
    8.10300000000375e-05 × 6371000     		dl = 516.242130000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13450908-1.13442805) × R
    8.10300000000375e-05 × 6371000     		dr = 516.242130000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13671604--0.13652429) × cos(1.13450908) × R
    0.000191750000000018 × 0.42257741746022 × 6371000     		do = 516.237159333089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13671604--0.13652429) × cos(1.13442805) × R
    0.000191750000000018 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 516.32687441328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13450908)-sin(1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42257741746022-0.422650855736037)×R²
    abs(-0.13652429--0.13671604)×7.34382758176277e-05×R²
    0.000191750000000018×7.34382758176277e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.34382758176277e-05×40589641000000     		ar = 266526.52821728m²