Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15670 / 8701
↖ ↑ ↗
← N 64.182465°
W  7.844239°		 ← 532.03 m → N 64.182465°
W  7.833252°		 →
↑
532.11 m
↓
↑
532.11 m
↓
N 64.177679°
W  7.844239°		 ← 532.12 m →
283 122 m²		 N 64.177679°
W  7.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478225708007812 y=0.265548706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478225708007812 × 215)
    floor (0.478225708007812 × 32768)
    floor (15670.5)     		tx = 15670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265548706054688 × 215)
    floor (0.265548706054688 × 32768)
    floor (8701.5)     		ty = 8701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15670 / 8701 ti = "15/15670/8701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15670/8701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15670 ÷ 215
    15670 ÷ 32768     		x = 0.47821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8701 ÷ 215
    8701 ÷ 32768     		y = 0.265533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13690779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265533447265625 × 2 - 1) × π
    0.46893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47319679912357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13690779} λ = -0.13690779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47319679912357))-π/2
    2×atan(4.36316101940806)-π/2
    2×1.34549582691896-π/2
    2.69099165383792-1.57079632675     		φ = 1.12019533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13690779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.844239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12019533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.182465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15670 KachelY 8701 -0.13690779 1.12019533 -7.844239 64.182465
    Oben rechts KachelX + 1 15671 KachelY 8701 -0.13671604 1.12019533 -7.833252 64.182465
    Unten links KachelX 15670 KachelY + 1 8702 -0.13690779 1.12011181 -7.844239 64.177679
    Unten rechts KachelX + 1 15671 KachelY + 1 8702 -0.13671604 1.12011181 -7.833252 64.177679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12019533-1.12011181) × R
    8.35200000000036e-05 × 6371000     		dl = 532.105920000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12019533-1.12011181) × R
    8.35200000000036e-05 × 6371000     		dr = 532.105920000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13690779--0.13671604) × cos(1.12019533) × R
    0.000191749999999991 × 0.435506621346987 × 6371000     		do = 532.031982272341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13690779--0.13671604) × cos(1.12011181) × R
    0.000191749999999991 × 0.435581803323145 × 6371000     		du = 532.123827525308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12019533)-sin(1.12011181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435506621346987-0.435581803323145)×R²
    abs(-0.13671604--0.13690779)×7.5181976157801e-05×R²
    0.000191749999999991×7.5181976157801e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.5181976157801e-05×40589641000000     		ar = 283121.803262198m²