Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15670 / 6874
↖ ↑ ↗
← N 71.656749°
W  7.844239°		 ← 384.46 m → N 71.656749°
W  7.833252°		 →
↑
384.49 m
↓
↑
384.49 m
↓
N 71.653291°
W  7.844239°		 ← 384.53 m →
147 835 m²		 N 71.653291°
W  7.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478225708007812 y=0.209793090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478225708007812 × 215)
    floor (0.478225708007812 × 32768)
    floor (15670.5)     		tx = 15670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209793090820312 × 215)
    floor (0.209793090820312 × 32768)
    floor (6874.5)     		ty = 6874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15670 / 6874 ti = "15/15670/6874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15670/6874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15670 ÷ 215
    15670 ÷ 32768     		x = 0.47821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6874 ÷ 215
    6874 ÷ 32768     		y = 0.20977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13690779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20977783203125 × 2 - 1) × π
    0.5804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82351966154694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13690779} λ = -0.13690779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82351966154694))-π/2
    2×atan(6.19361957617769)-π/2
    2×1.41072126576126-π/2
    2.82144253152251-1.57079632675     		φ = 1.25064620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13690779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.844239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25064620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.656749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15670 KachelY 6874 -0.13690779 1.25064620 -7.844239 71.656749
    Oben rechts KachelX + 1 15671 KachelY 6874 -0.13671604 1.25064620 -7.833252 71.656749
    Unten links KachelX 15670 KachelY + 1 6875 -0.13690779 1.25058585 -7.844239 71.653291
    Unten rechts KachelX + 1 15671 KachelY + 1 6875 -0.13671604 1.25058585 -7.833252 71.653291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25064620-1.25058585) × R
    6.03500000000423e-05 × 6371000     		dl = 384.48985000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25064620-1.25058585) × R
    6.03500000000423e-05 × 6371000     		dr = 384.48985000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13690779--0.13671604) × cos(1.25064620) × R
    0.000191749999999991 × 0.314709062741642 × 6371000     		do = 384.460943375884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13690779--0.13671604) × cos(1.25058585) × R
    0.000191749999999991 × 0.314766345675318 × 6371000     		du = 384.530922456017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25064620)-sin(1.25058585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314709062741642-0.314766345675318)×R²
    abs(-0.13671604--0.13690779)×5.72829336756286e-05×R²
    0.000191749999999991×5.72829336756286e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.72829336756286e-05×40589641000000     		ar = 147834.783617997m²