Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15669 / 8700
↖ ↑ ↗
← N 64.187249°
W  7.855224°		 ← 531.91 m → N 64.187249°
W  7.844239°		 →
↑
531.98 m
↓
↑
531.98 m
↓
N 64.182465°
W  7.855224°		 ← 532 m →
282 990 m²		 N 64.182465°
W  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478195190429688 y=0.265518188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478195190429688 × 215)
    floor (0.478195190429688 × 32768)
    floor (15669.5)     		tx = 15669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265518188476562 × 215)
    floor (0.265518188476562 × 32768)
    floor (8700.5)     		ty = 8700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15669 / 8700 ti = "15/15669/8700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15669/8700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15669 ÷ 215
    15669 ÷ 32768     		x = 0.478179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8700 ÷ 215
    8700 ÷ 32768     		y = 0.2655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.04364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13709953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2655029296875 × 2 - 1) × π
    0.468994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47338854672205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13709953} λ = -0.13709953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47338854672205))-π/2
    2×atan(4.36399772527092)-π/2
    2×1.34553757699024-π/2
    2.69107515398047-1.57079632675     		φ = 1.12027883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13709953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.855224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12027883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.187249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15669 KachelY 8700 -0.13709953 1.12027883 -7.855224 64.187249
    Oben rechts KachelX + 1 15670 KachelY 8700 -0.13690779 1.12027883 -7.844239 64.187249
    Unten links KachelX 15669 KachelY + 1 8701 -0.13709953 1.12019533 -7.855224 64.182465
    Unten rechts KachelX + 1 15670 KachelY + 1 8701 -0.13690779 1.12019533 -7.844239 64.182465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12027883-1.12019533) × R
    8.34999999999031e-05 × 6371000     		dl = 531.978499999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12027883-1.12019533) × R
    8.34999999999031e-05 × 6371000     		dr = 531.978499999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13709953--0.13690779) × cos(1.12027883) × R
    0.000191739999999996 × 0.435431454337352 × 6371000     		do = 531.912413965124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13709953--0.13690779) × cos(1.12019533) × R
    0.000191739999999996 × 0.435506621346987 × 6371000     		du = 532.00423614551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12027883)-sin(1.12019533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435431454337352-0.435506621346987)×R²
    abs(-0.13690779--0.13709953)×7.51670096356682e-05×R²
    0.000191739999999996×7.51670096356682e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.51670096356682e-05×40589641000000     		ar = 282990.391989538m²