Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15669 / 8698
↖ ↑ ↗
← N 64.196814°
W  7.855224°		 ← 531.73 m → N 64.196814°
W  7.844239°		 →
↑
531.79 m
↓
↑
531.79 m
↓
N 64.192032°
W  7.855224°		 ← 531.82 m →
282 791 m²		 N 64.192032°
W  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478195190429688 y=0.265457153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478195190429688 × 215)
    floor (0.478195190429688 × 32768)
    floor (15669.5)     		tx = 15669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265457153320312 × 215)
    floor (0.265457153320312 × 32768)
    floor (8698.5)     		ty = 8698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15669 / 8698 ti = "15/15669/8698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15669/8698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15669 ÷ 215
    15669 ÷ 32768     		x = 0.478179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8698 ÷ 215
    8698 ÷ 32768     		y = 0.26544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.04364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13709953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26544189453125 × 2 - 1) × π
    0.4691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47377204191901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13709953} λ = -0.13709953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47377204191901))-π/2
    2×atan(4.36567161838258)-π/2
    2×1.3456210555155-π/2
    2.691242111031-1.57079632675     		φ = 1.12044578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13709953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.855224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12044578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.196814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15669 KachelY 8698 -0.13709953 1.12044578 -7.855224 64.196814
    Oben rechts KachelX + 1 15670 KachelY 8698 -0.13690779 1.12044578 -7.844239 64.196814
    Unten links KachelX 15669 KachelY + 1 8699 -0.13709953 1.12036231 -7.855224 64.192032
    Unten rechts KachelX + 1 15670 KachelY + 1 8699 -0.13690779 1.12036231 -7.844239 64.192032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12044578-1.12036231) × R
    8.34700000000854e-05 × 6371000     		dl = 531.787370000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12044578-1.12036231) × R
    8.34700000000854e-05 × 6371000     		dr = 531.787370000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13709953--0.13690779) × cos(1.12044578) × R
    0.000191739999999996 × 0.435281156225523 × 6371000     		do = 531.728813468005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13709953--0.13690779) × cos(1.12036231) × R
    0.000191739999999996 × 0.435356302296944 × 6371000     		du = 531.820610070781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12044578)-sin(1.12036231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435281156225523-0.435356302296944)×R²
    abs(-0.13690779--0.13709953)×7.51460714212837e-05×R²
    0.000191739999999996×7.51460714212837e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.51460714212837e-05×40589641000000     		ar = 282791.075569101m²