Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15669 / 19042
↖ ↑ ↗
← S 28.013801°
W  7.855224°		 ← 1 078.45 m → S 28.013801°
W  7.844239°		 →
↑
1 078.42 m
↓
↑
1 078.42 m
↓
S 28.023500°
W  7.855224°		 ← 1 078.35 m →
1 162 968 m²		 S 28.023500°
W  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478195190429688 y=0.581130981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478195190429688 × 215)
    floor (0.478195190429688 × 32768)
    floor (15669.5)     		tx = 15669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581130981445312 × 215)
    floor (0.581130981445312 × 32768)
    floor (19042.5)     		ty = 19042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15669 / 19042 ti = "15/15669/19042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15669/19042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15669 ÷ 215
    15669 ÷ 32768     		x = 0.478179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19042 ÷ 215
    19042 ÷ 32768     		y = 0.58111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.04364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13709953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.509665116760437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13709953} λ = -0.13709953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509665116760437))-π/2
    2×atan(0.600696708392625)-π/2
    2×0.540931628395097-π/2
    1.08186325679019-1.57079632675     		φ = -0.48893307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13709953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.855224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48893307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.013801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15669 KachelY 19042 -0.13709953 -0.48893307 -7.855224 -28.013801
    Oben rechts KachelX + 1 15670 KachelY 19042 -0.13690779 -0.48893307 -7.844239 -28.013801
    Unten links KachelX 15669 KachelY + 1 19043 -0.13709953 -0.48910234 -7.855224 -28.023500
    Unten rechts KachelX + 1 15670 KachelY + 1 19043 -0.13690779 -0.48910234 -7.844239 -28.023500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48893307--0.48910234) × R
    0.000169269999999999 × 6371000     		dl = 1078.41916999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48893307--0.48910234) × R
    0.000169269999999999 × 6371000     		dr = 1078.41916999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13709953--0.13690779) × cos(-0.48893307) × R
    0.000191739999999996 × 0.882834481196543 × 6371000     		do = 1078.44900809826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13709953--0.13690779) × cos(-0.48910234) × R
    0.000191739999999996 × 0.882754965099155 × 6371000     		du = 1078.35187317866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48893307)-sin(-0.48910234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882834481196543-0.882754965099155)×R²
    abs(-0.13690779--0.13709953)×7.95160973886544e-05×R²
    0.000191739999999996×7.95160973886544e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.95160973886544e-05×40589641000000     		ar = 1162967.71089789m²