Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15668 / 6572
↖ ↑ ↗
← N 72.672682°
W  7.866211°		 ← 363.84 m → N 72.672682°
W  7.855224°		 →
↑
363.91 m
↓
↑
363.91 m
↓
N 72.669409°
W  7.866211°		 ← 363.91 m →
132 418 m²		 N 72.669409°
W  7.855224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478164672851562 y=0.200576782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478164672851562 × 215)
    floor (0.478164672851562 × 32768)
    floor (15668.5)     		tx = 15668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200576782226562 × 215)
    floor (0.200576782226562 × 32768)
    floor (6572.5)     		ty = 6572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15668 / 6572 ti = "15/15668/6572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15668/6572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15668 ÷ 215
    15668 ÷ 32768     		x = 0.4781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6572 ÷ 215
    6572 ÷ 32768     		y = 0.2005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2005615234375 × 2 - 1) × π
    0.598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88142743628796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13729128} λ = -0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88142743628796))-π/2
    2×atan(6.56286625264947)-π/2
    2×1.41958694757519-π/2
    2.83917389515038-1.57079632675     		φ = 1.26837757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26837757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.672682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15668 KachelY 6572 -0.13729128 1.26837757 -7.866211 72.672682
    Oben rechts KachelX + 1 15669 KachelY 6572 -0.13709953 1.26837757 -7.855224 72.672682
    Unten links KachelX 15668 KachelY + 1 6573 -0.13729128 1.26832045 -7.866211 72.669409
    Unten rechts KachelX + 1 15669 KachelY + 1 6573 -0.13709953 1.26832045 -7.855224 72.669409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26837757-1.26832045) × R
    5.71199999999106e-05 × 6371000     		dl = 363.91151999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26837757-1.26832045) × R
    5.71199999999106e-05 × 6371000     		dr = 363.91151999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13729128--0.13709953) × cos(1.26837757) × R
    0.000191749999999991 × 0.297830066579732 × 6371000     		do = 363.840899163896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13729128--0.13709953) × cos(1.26832045) × R
    0.000191749999999991 × 0.297884593925622 × 6371000     		du = 363.907511909833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26837757)-sin(1.26832045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297830066579732-0.297884593925622)×R²
    abs(-0.13709953--0.13729128)×5.45273458895101e-05×R²
    0.000191749999999991×5.45273458895101e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.45273458895101e-05×40589641000000     		ar = 132418.015262162m²