Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15667 / 9828
↖ ↑ ↗
← N 58.240164°
W  7.877197°		 ← 643.02 m → N 58.240164°
W  7.866211°		 →
↑
643.09 m
↓
↑
643.09 m
↓
N 58.234380°
W  7.877197°		 ← 643.13 m →
413 554 m²		 N 58.234380°
W  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478134155273438 y=0.299942016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478134155273438 × 215)
    floor (0.478134155273438 × 32768)
    floor (15667.5)     		tx = 15667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299942016601562 × 215)
    floor (0.299942016601562 × 32768)
    floor (9828.5)     		ty = 9828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15667 / 9828 ti = "15/15667/9828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15667/9828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15667 ÷ 215
    15667 ÷ 32768     		x = 0.478118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9828 ÷ 215
    9828 ÷ 32768     		y = 0.2999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.04376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13748303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2999267578125 × 2 - 1) × π
    0.400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25709725563635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13748303} λ = -0.13748303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25709725563635))-π/2
    2×atan(3.51520292812114)-π/2
    2×1.29363946875428-π/2
    2.58727893750857-1.57079632675     		φ = 1.01648261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13748303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01648261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.240164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15667 KachelY 9828 -0.13748303 1.01648261 -7.877197 58.240164
    Oben rechts KachelX + 1 15668 KachelY 9828 -0.13729128 1.01648261 -7.866211 58.240164
    Unten links KachelX 15667 KachelY + 1 9829 -0.13748303 1.01638167 -7.877197 58.234380
    Unten rechts KachelX + 1 15668 KachelY + 1 9829 -0.13729128 1.01638167 -7.866211 58.234380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01648261-1.01638167) × R
    0.000100940000000049 × 6371000     		dl = 643.088740000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01648261-1.01638167) × R
    0.000100940000000049 × 6371000     		dr = 643.088740000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13748303--0.13729128) × cos(1.01648261) × R
    0.000191750000000018 × 0.526359903759825 × 6371000     		do = 643.021918059286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13748303--0.13729128) × cos(1.01638167) × R
    0.000191750000000018 × 0.526445726511573 × 6371000     		du = 643.126762501364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01648261)-sin(1.01638167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526359903759825-0.526445726511573)×R²
    abs(-0.13729128--0.13748303)×8.58227517478438e-05×R²
    0.000191750000000018×8.58227517478438e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.58227517478438e-05×40589641000000     		ar = 413553.867568965m²