Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15667 / 8529
↖ ↑ ↗
← N 64.993296°
W  7.877197°		 ← 516.42 m → N 64.993296°
W  7.866211°		 →
↑
516.50 m
↓
↑
516.50 m
↓
N 64.988651°
W  7.877197°		 ← 516.51 m →
266 751 m²		 N 64.988651°
W  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478134155273438 y=0.260299682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478134155273438 × 215)
    floor (0.478134155273438 × 32768)
    floor (15667.5)     		tx = 15667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260299682617188 × 215)
    floor (0.260299682617188 × 32768)
    floor (8529.5)     		ty = 8529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15667 / 8529 ti = "15/15667/8529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15667/8529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15667 ÷ 215
    15667 ÷ 32768     		x = 0.478118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8529 ÷ 215
    8529 ÷ 32768     		y = 0.260284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.04376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13748303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260284423828125 × 2 - 1) × π
    0.47943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50617738606216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13748303} λ = -0.13748303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50617738606216))-π/2
    2×atan(4.50945988113455)-π/2
    2×1.35257166175459-π/2
    2.70514332350917-1.57079632675     		φ = 1.13434700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13748303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13434700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.993296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15667 KachelY 8529 -0.13748303 1.13434700 -7.877197 64.993296
    Oben rechts KachelX + 1 15668 KachelY 8529 -0.13729128 1.13434700 -7.866211 64.993296
    Unten links KachelX 15667 KachelY + 1 8530 -0.13748303 1.13426593 -7.877197 64.988651
    Unten rechts KachelX + 1 15668 KachelY + 1 8530 -0.13729128 1.13426593 -7.866211 64.988651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13434700-1.13426593) × R
    8.10700000000164e-05 × 6371000     		dl = 516.496970000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13434700-1.13426593) × R
    8.10700000000164e-05 × 6371000     		dr = 516.496970000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13748303--0.13729128) × cos(1.13434700) × R
    0.000191750000000018 × 0.422724309361955 × 6371000     		do = 516.416608245756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13748303--0.13729128) × cos(1.13426593) × R
    0.000191750000000018 × 0.422797778335434 × 6371000     		du = 516.506360827416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13434700)-sin(1.13426593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422724309361955-0.422797778335434)×R²
    abs(-0.13729128--0.13748303)×7.34689734794292e-05×R²
    0.000191750000000018×7.34689734794292e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.34689734794292e-05×40589641000000     		ar = 266750.792030688m²