Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15666 / 9855
↖ ↑ ↗
← N 58.083685°
W  7.888184°		 ← 645.86 m → N 58.083685°
W  7.877197°		 →
↑
645.89 m
↓
↑
645.89 m
↓
N 58.077876°
W  7.888184°		 ← 645.96 m →
417 187 m²		 N 58.077876°
W  7.877197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478103637695312 y=0.300765991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478103637695312 × 215)
    floor (0.478103637695312 × 32768)
    floor (15666.5)     		tx = 15666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300765991210938 × 215)
    floor (0.300765991210938 × 32768)
    floor (9855.5)     		ty = 9855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15666 / 9855 ti = "15/15666/9855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15666/9855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15666 ÷ 215
    15666 ÷ 32768     		x = 0.47808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9855 ÷ 215
    9855 ÷ 32768     		y = 0.300750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300750732421875 × 2 - 1) × π
    0.39849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25192007047739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13767478} λ = -0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25192007047739))-π/2
    2×atan(3.49705109992267)-π/2
    2×1.29227393579892-π/2
    2.58454787159785-1.57079632675     		φ = 1.01375154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01375154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.083685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15666 KachelY 9855 -0.13767478 1.01375154 -7.888184 58.083685
    Oben rechts KachelX + 1 15667 KachelY 9855 -0.13748303 1.01375154 -7.877197 58.083685
    Unten links KachelX 15666 KachelY + 1 9856 -0.13767478 1.01365016 -7.888184 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 15667 KachelY + 1 9856 -0.13748303 1.01365016 -7.877197 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01375154-1.01365016) × R
    0.000101379999999818 × 6371000     		dl = 645.891979998839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01375154-1.01365016) × R
    0.000101379999999818 × 6371000     		dr = 645.891979998839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13767478--0.13748303) × cos(1.01375154) × R
    0.000191749999999991 × 0.52868006257459 × 6371000     		do = 645.856315133543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13767478--0.13748303) × cos(1.01365016) × R
    0.000191749999999991 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 645.961438136517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01375154)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52868006257459-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.13748303--0.13767478)×8.60507739696148e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60507739696148e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60507739696148e-05×40589641000000     		ar = 417187.363585813m²