Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15666 / 9843
↖ ↑ ↗
← N 58.153316°
W  7.888184°		 ← 644.60 m → N 58.153316°
W  7.877197°		 →
↑
644.62 m
↓
↑
644.62 m
↓
N 58.147519°
W  7.888184°		 ← 644.70 m →
415 552 m²		 N 58.147519°
W  7.877197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478103637695312 y=0.300399780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478103637695312 × 215)
    floor (0.478103637695312 × 32768)
    floor (15666.5)     		tx = 15666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300399780273438 × 215)
    floor (0.300399780273438 × 32768)
    floor (9843.5)     		ty = 9843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15666 / 9843 ti = "15/15666/9843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15666/9843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15666 ÷ 215
    15666 ÷ 32768     		x = 0.47808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9843 ÷ 215
    9843 ÷ 32768     		y = 0.300384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300384521484375 × 2 - 1) × π
    0.39923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25422104165915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13767478} λ = -0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25422104165915))-π/2
    2×atan(3.50510697834249)-π/2
    2×1.29288158084571-π/2
    2.58576316169143-1.57079632675     		φ = 1.01496683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01496683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.153316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15666 KachelY 9843 -0.13767478 1.01496683 -7.888184 58.153316
    Oben rechts KachelX + 1 15667 KachelY 9843 -0.13748303 1.01496683 -7.877197 58.153316
    Unten links KachelX 15666 KachelY + 1 9844 -0.13767478 1.01486565 -7.888184 58.147519
    Unten rechts KachelX + 1 15667 KachelY + 1 9844 -0.13748303 1.01486565 -7.877197 58.147519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01496683-1.01486565) × R
    0.000101180000000145 × 6371000     		dl = 644.617780000924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01496683-1.01486565) × R
    0.000101180000000145 × 6371000     		dr = 644.617780000924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13767478--0.13748303) × cos(1.01496683) × R
    0.000191749999999991 × 0.527648108528047 × 6371000     		do = 644.59563956609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13767478--0.13748303) × cos(1.01486565) × R
    0.000191749999999991 × 0.527734054498444 × 6371000     		du = 644.700634536907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01496683)-sin(1.01486565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527648108528047-0.527734054498444)×R²
    abs(-0.13748303--0.13767478)×8.59459703970167e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59459703970167e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59459703970167e-05×40589641000000     		ar = 415551.651342413m²