Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15665 / 9805
↖ ↑ ↗
← N 58.372918°
W  7.899170°		 ← 640.58 m → N 58.372918°
W  7.888184°		 →
↑
640.67 m
↓
↑
640.67 m
↓
N 58.367156°
W  7.899170°		 ← 640.68 m →
410 433 m²		 N 58.367156°
W  7.888184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478073120117188 y=0.299240112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478073120117188 × 215)
    floor (0.478073120117188 × 32768)
    floor (15665.5)     		tx = 15665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299240112304688 × 215)
    floor (0.299240112304688 × 32768)
    floor (9805.5)     		ty = 9805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15665 / 9805 ti = "15/15665/9805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15665/9805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15665 ÷ 215
    15665 ÷ 32768     		x = 0.478057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9805 ÷ 215
    9805 ÷ 32768     		y = 0.299224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.04388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13786652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299224853515625 × 2 - 1) × π
    0.40155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2615074504014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13786652} λ = -0.13786652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2615074504014))-π/2
    2×atan(3.53073989301084)-π/2
    2×1.29479796911783-π/2
    2.58959593823567-1.57079632675     		φ = 1.01879961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13786652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01879961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.372918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15665 KachelY 9805 -0.13786652 1.01879961 -7.899170 58.372918
    Oben rechts KachelX + 1 15666 KachelY 9805 -0.13767478 1.01879961 -7.888184 58.372918
    Unten links KachelX 15665 KachelY + 1 9806 -0.13786652 1.01869905 -7.899170 58.367156
    Unten rechts KachelX + 1 15666 KachelY + 1 9806 -0.13767478 1.01869905 -7.888184 58.367156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01879961-1.01869905) × R
    0.000100560000000138 × 6371000     		dl = 640.667760000881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01879961-1.01869905) × R
    0.000100560000000138 × 6371000     		dr = 640.667760000881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13786652--0.13767478) × cos(1.01879961) × R
    0.000191739999999996 × 0.524388435886056 × 6371000     		do = 640.580086737251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13786652--0.13767478) × cos(1.01869905) × R
    0.000191739999999996 × 0.524474057979347 × 6371000     		du = 640.684680592098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01879961)-sin(1.01869905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524388435886056-0.524474057979347)×R²
    abs(-0.13767478--0.13786652)×8.56220932908824e-05×R²
    0.000191739999999996×8.56220932908824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.56220932908824e-05×40589641000000     		ar = 410432.514572416m²