Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15665 / 8420
↖ ↑ ↗
← N 65.494741°
W  7.899170°		 ← 506.68 m → N 65.494741°
W  7.888184°		 →
↑
506.75 m
↓
↑
506.75 m
↓
N 65.490184°
W  7.899170°		 ← 506.77 m →
256 783 m²		 N 65.490184°
W  7.888184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478073120117188 y=0.256973266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478073120117188 × 215)
    floor (0.478073120117188 × 32768)
    floor (15665.5)     		tx = 15665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256973266601562 × 215)
    floor (0.256973266601562 × 32768)
    floor (8420.5)     		ty = 8420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15665 / 8420 ti = "15/15665/8420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15665/8420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15665 ÷ 215
    15665 ÷ 32768     		x = 0.478057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8420 ÷ 215
    8420 ÷ 32768     		y = 0.2569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.04388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13786652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2569580078125 × 2 - 1) × π
    0.486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52707787429651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13786652} λ = -0.13786652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52707787429651))-π/2
    2×atan(4.60470162680016)-π/2
    2×1.35694760363539-π/2
    2.71389520727078-1.57079632675     		φ = 1.14309888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13786652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14309888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.494741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15665 KachelY 8420 -0.13786652 1.14309888 -7.899170 65.494741
    Oben rechts KachelX + 1 15666 KachelY 8420 -0.13767478 1.14309888 -7.888184 65.494741
    Unten links KachelX 15665 KachelY + 1 8421 -0.13786652 1.14301934 -7.899170 65.490184
    Unten rechts KachelX + 1 15666 KachelY + 1 8421 -0.13767478 1.14301934 -7.888184 65.490184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14309888-1.14301934) × R
    7.95399999999891e-05 × 6371000     		dl = 506.74933999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14309888-1.14301934) × R
    7.95399999999891e-05 × 6371000     		dr = 506.74933999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13786652--0.13767478) × cos(1.14309888) × R
    0.000191739999999996 × 0.41477675720618 × 6371000     		do = 506.681141163577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13786652--0.13767478) × cos(1.14301934) × R
    0.000191739999999996 × 0.414849131185881 × 6371000     		du = 506.769551446913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14309888)-sin(1.14301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41477675720618-0.414849131185881)×R²
    abs(-0.13767478--0.13786652)×7.23739797009459e-05×R²
    0.000191739999999996×7.23739797009459e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.23739797009459e-05×40589641000000     		ar = 256782.734936837m²