Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15665 / 16574
↖ ↑ ↗
← N 79.072853°
W136.974792°		 ← 57.90 m → N 79.072853°
W136.972046°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.072333°
W136.974792°		 ← 57.90 m →
3 353 m²		 N 79.072333°
W136.972046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119518280029297 y=0.126453399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119518280029297 × 217)
    floor (0.119518280029297 × 131072)
    floor (15665.5)     		tx = 15665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126453399658203 × 217)
    floor (0.126453399658203 × 131072)
    floor (16574.5)     		ty = 16574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15665 / 16574 ti = "17/15665/16574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15665/16574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15665 ÷ 217
    15665 ÷ 131072     		x = 0.119514465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16574 ÷ 217
    16574 ÷ 131072     		y = 0.126449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119514465332031 × 2 - 1) × π
    -0.760971069335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.39066112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126449584960938 × 2 - 1) × π
    0.747100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34708647919719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39066112} λ = -2.39066112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34708647919719))-π/2
    2×atan(10.4550642599375)-π/2
    2×1.47543898335162-π/2
    2.95087796670324-1.57079632675     		φ = 1.38008164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39066112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.974792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38008164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.072853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15665 KachelY 16574 -2.39066112 1.38008164 -136.974792 79.072853
    Oben rechts KachelX + 1 15666 KachelY 16574 -2.39061318 1.38008164 -136.972046 79.072853
    Unten links KachelX 15665 KachelY + 1 16575 -2.39066112 1.38007255 -136.974792 79.072333
    Unten rechts KachelX + 1 15666 KachelY + 1 16575 -2.39061318 1.38007255 -136.972046 79.072333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38008164-1.38007255) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38008164-1.38007255) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39066112--2.39061318) × cos(1.38008164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189560672143717 × 6371000     		do = 57.8967085643543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39066112--2.39061318) × cos(1.38007255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189569597325181 × 6371000     		du = 57.8994345445074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38008164)-sin(1.38007255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189560672143717-0.189569597325181)×R²
    abs(-2.39061318--2.39066112)×8.92518146364263e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.92518146364263e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.92518146364263e-06×40589641000000     		ar = 3353.01570002763m²