Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15664 / 8421
↖ ↑ ↗
← N 65.490184°
W  7.910156°		 ← 506.80 m → N 65.490184°
W  7.899170°		 →
↑
506.81 m
↓
↑
506.81 m
↓
N 65.485626°
W  7.910156°		 ← 506.88 m →
256 873 m²		 N 65.485626°
W  7.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478042602539062 y=0.257003784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478042602539062 × 215)
    floor (0.478042602539062 × 32768)
    floor (15664.5)     		tx = 15664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257003784179688 × 215)
    floor (0.257003784179688 × 32768)
    floor (8421.5)     		ty = 8421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15664 / 8421 ti = "15/15664/8421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15664/8421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15664 ÷ 215
    15664 ÷ 32768     		x = 0.47802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8421 ÷ 215
    8421 ÷ 32768     		y = 0.256988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256988525390625 × 2 - 1) × π
    0.48602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52688612669803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13805827} λ = -0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52688612669803))-π/2
    2×atan(4.60381877096695)-π/2
    2×1.35690783394261-π/2
    2.71381566788521-1.57079632675     		φ = 1.14301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.490184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15664 KachelY 8421 -0.13805827 1.14301934 -7.910156 65.490184
    Oben rechts KachelX + 1 15665 KachelY 8421 -0.13786652 1.14301934 -7.899170 65.490184
    Unten links KachelX 15664 KachelY + 1 8422 -0.13805827 1.14293979 -7.910156 65.485626
    Unten rechts KachelX + 1 15665 KachelY + 1 8422 -0.13786652 1.14293979 -7.899170 65.485626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14301934-1.14293979) × R
    7.95499999999283e-05 × 6371000     		dl = 506.813049999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14301934-1.14293979) × R
    7.95499999999283e-05 × 6371000     		dr = 506.813049999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13805827--0.13786652) × cos(1.14301934) × R
    0.000191750000000018 × 0.414849131185881 × 6371000     		do = 506.79598148512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13805827--0.13786652) × cos(1.14293979) × R
    0.000191750000000018 × 0.414921511639565 × 6371000     		du = 506.884404288273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14301934)-sin(1.14293979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414849131185881-0.414921511639565)×R²
    abs(-0.13786652--0.13805827)×7.23804536836847e-05×R²
    0.000191750000000018×7.23804536836847e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.23804536836847e-05×40589641000000     		ar = 256873.224154718m²