Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15664 / 16691
↖ ↑ ↗
← N 79.011770°
W136.977539°		 ← 58.22 m → N 79.011770°
W136.974792°		 →
↑
58.17 m
↓
↑
58.17 m
↓
N 79.011247°
W136.977539°		 ← 58.22 m →
3 386 m²		 N 79.011247°
W136.974792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119510650634766 y=0.127346038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119510650634766 × 217)
    floor (0.119510650634766 × 131072)
    floor (15664.5)     		tx = 15664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127346038818359 × 217)
    floor (0.127346038818359 × 131072)
    floor (16691.5)     		ty = 16691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15664 / 16691 ti = "17/15664/16691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15664/16691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15664 ÷ 217
    15664 ÷ 131072     		x = 0.1195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16691 ÷ 217
    16691 ÷ 131072     		y = 0.127342224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39070906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127342224121094 × 2 - 1) × π
    0.745315551757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.34147786194164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39070906} λ = -2.39070906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34147786194164))-π/2
    2×atan(10.3965899394462)-π/2
    2×1.47490593042878-π/2
    2.94981186085757-1.57079632675     		φ = 1.37901553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39070906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37901553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.011770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15664 KachelY 16691 -2.39070906 1.37901553 -136.977539 79.011770
    Oben rechts KachelX + 1 15665 KachelY 16691 -2.39066112 1.37901553 -136.974792 79.011770
    Unten links KachelX 15664 KachelY + 1 16692 -2.39070906 1.37900640 -136.977539 79.011247
    Unten rechts KachelX + 1 15665 KachelY + 1 16692 -2.39066112 1.37900640 -136.974792 79.011247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37901553-1.37900640) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dl = 58.1672300001519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37901553-1.37900640) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dr = 58.1672300001519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39070906--2.39066112) × cos(1.37901553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190607344588589 × 6371000     		do = 58.2163892703667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39070906--2.39066112) × cos(1.37900640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190616307194502 × 6371000     		du = 58.2191266809098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37901553)-sin(1.37900640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190607344588589-0.190616307194502)×R²
    abs(-2.39066112--2.39070906)×8.96260591240483e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.96260591240483e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.96260591240483e-06×40589641000000     		ar = 3386.36571813851m²