Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15663 / 9864
↖ ↑ ↗
← N 58.031373°
W  7.921143°		 ← 646.80 m → N 58.031373°
W  7.910156°		 →
↑
646.85 m
↓
↑
646.85 m
↓
N 58.025555°
W  7.921143°		 ← 646.91 m →
418 417 m²		 N 58.025555°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478012084960938 y=0.301040649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478012084960938 × 215)
    floor (0.478012084960938 × 32768)
    floor (15663.5)     		tx = 15663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301040649414062 × 215)
    floor (0.301040649414062 × 32768)
    floor (9864.5)     		ty = 9864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15663 / 9864 ti = "15/15663/9864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15663/9864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15663 ÷ 215
    15663 ÷ 32768     		x = 0.477996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9864 ÷ 215
    9864 ÷ 32768     		y = 0.301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13825002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301025390625 × 2 - 1) × π
    0.39794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25019434209106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13825002} λ = -0.13825002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25019434209106))-π/2
    2×atan(3.49102134392811)-π/2
    2×1.29181742249351-π/2
    2.58363484498701-1.57079632675     		φ = 1.01283852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13825002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01283852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.031373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15663 KachelY 9864 -0.13825002 1.01283852 -7.921143 58.031373
    Oben rechts KachelX + 1 15664 KachelY 9864 -0.13805827 1.01283852 -7.910156 58.031373
    Unten links KachelX 15663 KachelY + 1 9865 -0.13825002 1.01273699 -7.921143 58.025555
    Unten rechts KachelX + 1 15664 KachelY + 1 9865 -0.13805827 1.01273699 -7.910156 58.025555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01283852-1.01273699) × R
    0.000101530000000016 × 6371000     		dl = 646.847630000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01283852-1.01273699) × R
    0.000101530000000016 × 6371000     		dr = 646.847630000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13825002--0.13805827) × cos(1.01283852) × R
    0.000191749999999991 × 0.529454832823138 × 6371000     		do = 646.802804878902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13825002--0.13805827) × cos(1.01273699) × R
    0.000191749999999991 × 0.52954096186426 × 6371000     		du = 646.908023496101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01283852)-sin(1.01273699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529454832823138-0.52954096186426)×R²
    abs(-0.13805827--0.13825002)×8.61290411221516e-05×R²
    0.000191749999999991×8.61290411221516e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.61290411221516e-05×40589641000000     		ar = 418416.891979653m²