Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15663 / 9809
↖ ↑ ↗
← N 58.349866°
W  7.921143°		 ← 641.03 m → N 58.349866°
W  7.910156°		 →
↑
641.05 m
↓
↑
641.05 m
↓
N 58.344101°
W  7.921143°		 ← 641.14 m →
410 967 m²		 N 58.344101°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478012084960938 y=0.299362182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478012084960938 × 215)
    floor (0.478012084960938 × 32768)
    floor (15663.5)     		tx = 15663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299362182617188 × 215)
    floor (0.299362182617188 × 32768)
    floor (9809.5)     		ty = 9809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15663 / 9809 ti = "15/15663/9809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15663/9809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15663 ÷ 215
    15663 ÷ 32768     		x = 0.477996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9809 ÷ 215
    9809 ÷ 32768     		y = 0.299346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13825002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299346923828125 × 2 - 1) × π
    0.40130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26074046000748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13825002} λ = -0.13825002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26074046000748))-π/2
    2×atan(3.52803288768571)-π/2
    2×1.29459680299596-π/2
    2.58919360599192-1.57079632675     		φ = 1.01839728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13825002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01839728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.349866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15663 KachelY 9809 -0.13825002 1.01839728 -7.921143 58.349866
    Oben rechts KachelX + 1 15664 KachelY 9809 -0.13805827 1.01839728 -7.910156 58.349866
    Unten links KachelX 15663 KachelY + 1 9810 -0.13825002 1.01829666 -7.921143 58.344101
    Unten rechts KachelX + 1 15664 KachelY + 1 9810 -0.13805827 1.01829666 -7.910156 58.344101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01839728-1.01829666) × R
    0.000100619999999996 × 6371000     		dl = 641.050019999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01839728-1.01829666) × R
    0.000100619999999996 × 6371000     		dr = 641.050019999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13825002--0.13805827) × cos(1.01839728) × R
    0.000191749999999991 × 0.524730969048012 × 6371000     		do = 641.031947479555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13825002--0.13805827) × cos(1.01829666) × R
    0.000191749999999991 × 0.524816620989695 × 6371000     		du = 641.136583253353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01839728)-sin(1.01829666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524730969048012-0.524816620989695)×R²
    abs(-0.13805827--0.13825002)×8.56519416823076e-05×R²
    0.000191749999999991×8.56519416823076e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.56519416823076e-05×40589641000000     		ar = 410967.081481274m²