Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15663 / 16693
↖ ↑ ↗
← N 79.010723°
W136.980285°		 ← 58.21 m → N 79.010723°
W136.977539°		 →
↑
58.23 m
↓
↑
58.23 m
↓
N 79.010199°
W136.980285°		 ← 58.21 m →
3 390 m²		 N 79.010199°
W136.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119503021240234 y=0.127361297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119503021240234 × 217)
    floor (0.119503021240234 × 131072)
    floor (15663.5)     		tx = 15663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127361297607422 × 217)
    floor (0.127361297607422 × 131072)
    floor (16693.5)     		ty = 16693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15663 / 16693 ti = "17/15663/16693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15663/16693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15663 ÷ 217
    15663 ÷ 131072     		x = 0.119499206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16693 ÷ 217
    16693 ÷ 131072     		y = 0.127357482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119499206542969 × 2 - 1) × π
    -0.761001586914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.39075699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127357482910156 × 2 - 1) × π
    0.745285034179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.3413819881424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39075699} λ = -2.39075699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3413819881424))-π/2
    2×atan(10.3955932266497)-π/2
    2×1.47489679287384-π/2
    2.94979358574768-1.57079632675     		φ = 1.37899726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39075699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.980285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37899726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.010723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15663 KachelY 16693 -2.39075699 1.37899726 -136.980285 79.010723
    Oben rechts KachelX + 1 15664 KachelY 16693 -2.39070906 1.37899726 -136.977539 79.010723
    Unten links KachelX 15663 KachelY + 1 16694 -2.39075699 1.37898812 -136.980285 79.010199
    Unten rechts KachelX + 1 15664 KachelY + 1 16694 -2.39070906 1.37898812 -136.977539 79.010199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37899726-1.37898812) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dl = 58.2309399997647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37899726-1.37898812) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dr = 58.2309399997647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39075699--2.39070906) × cos(1.37899726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190625279601153 × 6371000     		do = 58.2097223483614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39075699--2.39070906) × cos(1.37898812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190634251991881 × 6371000     		du = 58.2124621758078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37899726)-sin(1.37898812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190625279601153-0.190634251991881)×R²
    abs(-2.39070906--2.39075699)×8.97239072719658e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.97239072719658e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.97239072719658e-06×40589641000000     		ar = 3389.68662094673m²