Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15662 / 9845
↖ ↑ ↗
← N 58.141720°
W  7.932129°		 ← 644.81 m → N 58.141720°
W  7.921143°		 →
↑
644.81 m
↓
↑
644.81 m
↓
N 58.135921°
W  7.932129°		 ← 644.91 m →
415 810 m²		 N 58.135921°
W  7.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477981567382812 y=0.300460815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477981567382812 × 215)
    floor (0.477981567382812 × 32768)
    floor (15662.5)     		tx = 15662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300460815429688 × 215)
    floor (0.300460815429688 × 32768)
    floor (9845.5)     		ty = 9845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15662 / 9845 ti = "15/15662/9845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15662/9845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15662 ÷ 215
    15662 ÷ 32768     		x = 0.47796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9845 ÷ 215
    9845 ÷ 32768     		y = 0.300445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300445556640625 × 2 - 1) × π
    0.39910888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25383754646219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13844177} λ = -0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25383754646219))-π/2
    2×atan(3.50376304436405)-π/2
    2×1.29278038910808-π/2
    2.58556077821616-1.57079632675     		φ = 1.01476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.141720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15662 KachelY 9845 -0.13844177 1.01476445 -7.932129 58.141720
    Oben rechts KachelX + 1 15663 KachelY 9845 -0.13825002 1.01476445 -7.921143 58.141720
    Unten links KachelX 15662 KachelY + 1 9846 -0.13844177 1.01466324 -7.932129 58.135921
    Unten rechts KachelX + 1 15663 KachelY + 1 9846 -0.13825002 1.01466324 -7.921143 58.135921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01476445-1.01466324) × R
    0.000101209999999963 × 6371000     		dl = 644.808909999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01476445-1.01466324) × R
    0.000101209999999963 × 6371000     		dr = 644.808909999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13844177--0.13825002) × cos(1.01476445) × R
    0.000191749999999991 × 0.527820012053346 × 6371000     		do = 644.805643659808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13844177--0.13825002) × cos(1.01466324) × R
    0.000191749999999991 × 0.527905972695638 × 6371000     		du = 644.910656554388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01476445)-sin(1.01466324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527820012053346-0.527905972695638)×R²
    abs(-0.13825002--0.13844177)×8.5960642292604e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5960642292604e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5960642292604e-05×40589641000000     		ar = 415810.281229947m²