Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15661 / 8538
↖ ↑ ↗
← N 64.951465°
W  7.943115°		 ← 517.20 m → N 64.951465°
W  7.932129°		 →
↑
517.26 m
↓
↑
517.26 m
↓
N 64.946813°
W  7.943115°		 ← 517.29 m →
267 550 m²		 N 64.946813°
W  7.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477951049804688 y=0.260574340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477951049804688 × 215)
    floor (0.477951049804688 × 32768)
    floor (15661.5)     		tx = 15661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260574340820312 × 215)
    floor (0.260574340820312 × 32768)
    floor (8538.5)     		ty = 8538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15661 / 8538 ti = "15/15661/8538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15661/8538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15661 ÷ 215
    15661 ÷ 32768     		x = 0.477935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8538 ÷ 215
    8538 ÷ 32768     		y = 0.26055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.04412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13863351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26055908203125 × 2 - 1) × π
    0.4788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50445165767584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13863351} λ = -0.13863351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50445165767584))-π/2
    2×atan(4.50168448924762)-π/2
    2×1.35220662273626-π/2
    2.70441324547251-1.57079632675     		φ = 1.13361692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13863351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13361692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.951465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15661 KachelY 8538 -0.13863351 1.13361692 -7.943115 64.951465
    Oben rechts KachelX + 1 15662 KachelY 8538 -0.13844177 1.13361692 -7.932129 64.951465
    Unten links KachelX 15661 KachelY + 1 8539 -0.13863351 1.13353573 -7.943115 64.946813
    Unten rechts KachelX + 1 15662 KachelY + 1 8539 -0.13844177 1.13353573 -7.932129 64.946813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13361692-1.13353573) × R
    8.11899999999532e-05 × 6371000     		dl = 517.261489999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13361692-1.13353573) × R
    8.11899999999532e-05 × 6371000     		dr = 517.261489999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13863351--0.13844177) × cos(1.13361692) × R
    0.000191739999999996 × 0.423385837724193 × 6371000     		do = 517.197783346272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13863351--0.13844177) × cos(1.13353573) × R
    0.000191739999999996 × 0.423459390365703 × 6371000     		du = 517.287633454043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13361692)-sin(1.13353573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423385837724193-0.423459390365703)×R²
    abs(-0.13844177--0.13863351)×7.35526415094889e-05×R²
    0.000191739999999996×7.35526415094889e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.35526415094889e-05×40589641000000     		ar = 267549.734185456m²