Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15660 / 9805
↖ ↑ ↗
← N 58.372918°
W  7.954101°		 ← 640.61 m → N 58.372918°
W  7.943115°		 →
↑
640.67 m
↓
↑
640.67 m
↓
N 58.367156°
W  7.954101°		 ← 640.72 m →
410 454 m²		 N 58.367156°
W  7.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477920532226562 y=0.299240112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477920532226562 × 215)
    floor (0.477920532226562 × 32768)
    floor (15660.5)     		tx = 15660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299240112304688 × 215)
    floor (0.299240112304688 × 32768)
    floor (9805.5)     		ty = 9805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15660 / 9805 ti = "15/15660/9805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15660/9805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15660 ÷ 215
    15660 ÷ 32768     		x = 0.4779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9805 ÷ 215
    9805 ÷ 32768     		y = 0.299224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299224853515625 × 2 - 1) × π
    0.40155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2615074504014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13882526} λ = -0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2615074504014))-π/2
    2×atan(3.53073989301084)-π/2
    2×1.29479796911783-π/2
    2.58959593823567-1.57079632675     		φ = 1.01879961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01879961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.372918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15660 KachelY 9805 -0.13882526 1.01879961 -7.954101 58.372918
    Oben rechts KachelX + 1 15661 KachelY 9805 -0.13863351 1.01879961 -7.943115 58.372918
    Unten links KachelX 15660 KachelY + 1 9806 -0.13882526 1.01869905 -7.954101 58.367156
    Unten rechts KachelX + 1 15661 KachelY + 1 9806 -0.13863351 1.01869905 -7.943115 58.367156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01879961-1.01869905) × R
    0.000100560000000138 × 6371000     		dl = 640.667760000881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01879961-1.01869905) × R
    0.000100560000000138 × 6371000     		dr = 640.667760000881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13882526--0.13863351) × cos(1.01879961) × R
    0.000191750000000018 × 0.524388435886056 × 6371000     		do = 640.613495524576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13882526--0.13863351) × cos(1.01869905) × R
    0.000191750000000018 × 0.524474057979347 × 6371000     		du = 640.718094834407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01879961)-sin(1.01869905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524388435886056-0.524474057979347)×R²
    abs(-0.13863351--0.13882526)×8.56220932908824e-05×R²
    0.000191750000000018×8.56220932908824e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.56220932908824e-05×40589641000000     		ar = 410453.92025279m²