Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1566 / 1818
↖ ↑ ↗
← N 19.808054°
W 42.363281°		 ← 9 194.75 m → N 19.808054°
W 42.275391°		 →
↑
9 197.11 m
↓
↑
9 197.11 m
↓
N 19.725342°
W 42.363281°		 ← 9 199.52 m →
84 587 097 m²		 N 19.725342°
W 42.275391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3824462890625 y=0.4439697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3824462890625 × 212)
    floor (0.3824462890625 × 4096)
    floor (1566.5)     		tx = 1566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4439697265625 × 212)
    floor (0.4439697265625 × 4096)
    floor (1818.5)     		ty = 1818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1566 / 1818 ti = "12/1566/1818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1566/1818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1566 ÷ 212
    1566 ÷ 4096     		x = 0.38232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1818 ÷ 212
    1818 ÷ 4096     		y = 0.44384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73937874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    0.1123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352815581203613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73937874} λ = -0.73937874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352815581203613))-π/2
    2×atan(1.42306867861974)-π/2
    2×0.958256044866905-π/2
    1.91651208973381-1.57079632675     		φ = 0.34571576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73937874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.363281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34571576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.808054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1566 KachelY 1818 -0.73937874 0.34571576 -42.363281 19.808054
    Oben rechts KachelX + 1 1567 KachelY 1818 -0.73784476 0.34571576 -42.275391 19.808054
    Unten links KachelX 1566 KachelY + 1 1819 -0.73937874 0.34427217 -42.363281 19.725342
    Unten rechts KachelX + 1 1567 KachelY + 1 1819 -0.73784476 0.34427217 -42.275391 19.725342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34571576-0.34427217) × R
    0.00144358999999999 × 6371000     		dl = 9197.11188999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34571576-0.34427217) × R
    0.00144358999999999 × 6371000     		dr = 9197.11188999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73937874--0.73784476) × cos(0.34571576) × R
    0.00153398000000005 × 0.940833143911184 × 6371000     		do = 9194.74968946349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73937874--0.73784476) × cos(0.34427217) × R
    0.00153398000000005 × 0.94132135301138 × 6371000     		du = 9199.52095044794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34571576)-sin(0.34427217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940833143911184-0.94132135301138)×R²
    abs(-0.73784476--0.73937874)×0.000488209100196313×R²
    0.00153398000000005×0.000488209100196313×6371000²
    0.00153398000000005×0.000488209100196313×40589641000000     		ar = 84587097.2947235m²