Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1566 / 1593
↖ ↑ ↗
← S 70.199994°
E 95.273437°		 ← 6 620.99 m → S 70.199994°
E 95.449219°		 →
↑
6 611.44 m
↓
↑
6 611.44 m
↓
S 70.259452°
E 95.273437°		 ← 6 601.90 m →
43 711 165 m²		 S 70.259452°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764892578125 y=0.778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764892578125 × 211)
    floor (0.764892578125 × 2048)
    floor (1566.5)     		tx = 1566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778076171875 × 211)
    floor (0.778076171875 × 2048)
    floor (1593.5)     		ty = 1593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1566 / 1593 ti = "11/1566/1593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1566/1593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1566 ÷ 211
    1566 ÷ 2048     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1593 ÷ 211
    1593 ÷ 2048     		y = 0.77783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74567013656396))-π/2
    2×atan(0.174527992180282)-π/2
    2×0.172787647658244-π/2
    0.345575295316487-1.57079632675     		φ = -1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1566 KachelY 1593 1.66283517 -1.22522103 95.273437 -70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 1567 KachelY 1593 1.66590314 -1.22522103 95.449219 -70.199994
    Unten links KachelX 1566 KachelY + 1 1594 1.66283517 -1.22625877 95.273437 -70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 1567 KachelY + 1 1594 1.66590314 -1.22625877 95.449219 -70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22522103--1.22625877) × R
    0.00103774000000012 × 6371000     		dl = 6611.44154000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22522103--1.22625877) × R
    0.00103774000000012 × 6371000     		dr = 6611.44154000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66590314) × cos(-1.22522103) × R
    0.00306797000000003 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 6620.9858075444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66590314) × cos(-1.22625877) × R
    0.00306797000000003 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 6601.89769930636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22522103)-sin(-1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.337761447152447)×R²
    abs(1.66590314-1.66283517)×0.000976571791253211×R²
    0.00306797000000003×0.000976571791253211×6371000²
    0.00306797000000003×0.000976571791253211×40589641000000     		ar = 43711164.570628m²