Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1566 / 1521
↖ ↑ ↗
← S 65.440002°
E 95.273437°		 ← 8 124.23 m → S 65.440002°
E 95.449219°		 →
↑
8 112.90 m
↓
↑
8 112.90 m
↓
S 65.512963°
E 95.273437°		 ← 8 101.59 m →
65 819 178 m²		 S 65.512963°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764892578125 y=0.742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764892578125 × 211)
    floor (0.764892578125 × 2048)
    floor (1566.5)     		tx = 1566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742919921875 × 211)
    floor (0.742919921875 × 2048)
    floor (1521.5)     		ty = 1521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1566 / 1521 ti = "11/1566/1521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1566/1521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1566 ÷ 211
    1566 ÷ 2048     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1521 ÷ 211
    1521 ÷ 2048     		y = 0.74267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52477690311475))-π/2
    2×atan(0.217669612861329)-π/2
    2×0.214326417670736-π/2
    0.428652835341472-1.57079632675     		φ = -1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1566 KachelY 1521 1.66283517 -1.14214349 95.273437 -65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 1567 KachelY 1521 1.66590314 -1.14214349 95.449219 -65.440002
    Unten links KachelX 1566 KachelY + 1 1522 1.66283517 -1.14341690 95.273437 -65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 1567 KachelY + 1 1522 1.66590314 -1.14341690 95.449219 -65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14214349--1.14341690) × R
    0.00127341000000003 × 6371000     		dl = 8112.89511000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14214349--1.14341690) × R
    0.00127341000000003 × 6371000     		dr = 8112.89511000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66590314) × cos(-1.14214349) × R
    0.00306797000000003 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 8124.23007274398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66590314) × cos(-1.14341690) × R
    0.00306797000000003 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 8101.58526876013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14214349)-sin(-1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.414487362458354)×R²
    abs(1.66590314-1.66283517)×0.00115853684992306×R²
    0.00306797000000003×0.00115853684992306×6371000²
    0.00306797000000003×0.00115853684992306×40589641000000     		ar = 65819177.8641389m²