Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1566 / 1513
↖ ↑ ↗
← S 64.848937°
E 95.273437°		 ← 8 307.19 m → S 64.848937°
E 95.449219°		 →
↑
8 295.68 m
↓
↑
8 295.68 m
↓
S 64.923542°
E 95.273437°		 ← 8 284.14 m →
68 818 197 m²		 S 64.923542°
E 95.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764892578125 y=0.739013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764892578125 × 211)
    floor (0.764892578125 × 2048)
    floor (1566.5)     		tx = 1566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739013671875 × 211)
    floor (0.739013671875 × 2048)
    floor (1513.5)     		ty = 1513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1566 / 1513 ti = "11/1566/1513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1566/1513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1566 ÷ 211
    1566 ÷ 2048     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1513 ÷ 211
    1513 ÷ 2048     		y = 0.73876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73876953125 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50023321050928))-π/2
    2×atan(0.223078129917381)-π/2
    2×0.219484427572209-π/2
    0.438968855144417-1.57079632675     		φ = -1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1566 KachelY 1513 1.66283517 -1.13182747 95.273437 -64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 1567 KachelY 1513 1.66590314 -1.13182747 95.449219 -64.848937
    Unten links KachelX 1566 KachelY + 1 1514 1.66283517 -1.13312957 95.273437 -64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 1567 KachelY + 1 1514 1.66590314 -1.13312957 95.449219 -64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13182747--1.13312957) × R
    0.00130209999999997 × 6371000     		dl = 8295.67909999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13182747--1.13312957) × R
    0.00130209999999997 × 6371000     		dr = 8295.67909999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66590314) × cos(-1.13182747) × R
    0.00306797000000003 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 8307.18901032659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66590314) × cos(-1.13312957) × R
    0.00306797000000003 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 8284.14406943254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13182747)-sin(-1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.423827301899101)×R²
    abs(1.66590314-1.66283517)×0.00117900836099505×R²
    0.00306797000000003×0.00117900836099505×6371000²
    0.00306797000000003×0.00117900836099505×40589641000000     		ar = 68818197.2586822m²