Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15658 / 9854
↖ ↑ ↗
← N 58.089493°
W  7.976074°		 ← 645.75 m → N 58.089493°
W  7.965088°		 →
↑
645.83 m
↓
↑
645.83 m
↓
N 58.083685°
W  7.976074°		 ← 645.86 m →
417 078 m²		 N 58.083685°
W  7.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477859497070312 y=0.300735473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477859497070312 × 215)
    floor (0.477859497070312 × 32768)
    floor (15658.5)     		tx = 15658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300735473632812 × 215)
    floor (0.300735473632812 × 32768)
    floor (9854.5)     		ty = 9854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15658 / 9854 ti = "15/15658/9854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15658/9854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15658 ÷ 215
    15658 ÷ 32768     		x = 0.47784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9854 ÷ 215
    9854 ÷ 32768     		y = 0.30072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13920876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30072021484375 × 2 - 1) × π
    0.3985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25211181807587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13920876} λ = -0.13920876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25211181807587))-π/2
    2×atan(3.49772171536524)-π/2
    2×1.29232461823999-π/2
    2.58464923647999-1.57079632675     		φ = 1.01385291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13920876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01385291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.089493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15658 KachelY 9854 -0.13920876 1.01385291 -7.976074 58.089493
    Oben rechts KachelX + 1 15659 KachelY 9854 -0.13901701 1.01385291 -7.965088 58.089493
    Unten links KachelX 15658 KachelY + 1 9855 -0.13920876 1.01375154 -7.976074 58.083685
    Unten rechts KachelX + 1 15659 KachelY + 1 9855 -0.13901701 1.01375154 -7.965088 58.083685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01385291-1.01375154) × R
    0.000101370000000101 × 6371000     		dl = 645.828270000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01385291-1.01375154) × R
    0.000101370000000101 × 6371000     		dr = 645.828270000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13920876--0.13901701) × cos(1.01385291) × R
    0.000191749999999991 × 0.528594014855644 × 6371000     		do = 645.751195862706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13920876--0.13901701) × cos(1.01375154) × R
    0.000191749999999991 × 0.52868006257459 × 6371000     		du = 645.856315133543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01385291)-sin(1.01375154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528594014855644-0.52868006257459)×R²
    abs(-0.13901701--0.13920876)×8.60477189453812e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60477189453812e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60477189453812e-05×40589641000000     		ar = 417078.322530855m²