Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15656 / 8648
↖ ↑ ↗
← N 64.434892°
W  7.998047°		 ← 527.18 m → N 64.434892°
W  7.987060°		 →
↑
527.20 m
↓
↑
527.20 m
↓
N 64.430151°
W  7.998047°		 ← 527.27 m →
277 954 m²		 N 64.430151°
W  7.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477798461914062 y=0.263931274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477798461914062 × 215)
    floor (0.477798461914062 × 32768)
    floor (15656.5)     		tx = 15656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263931274414062 × 215)
    floor (0.263931274414062 × 32768)
    floor (8648.5)     		ty = 8648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15656 / 8648 ti = "15/15656/8648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15656/8648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15656 ÷ 215
    15656 ÷ 32768     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8648 ÷ 215
    8648 ÷ 32768     		y = 0.263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263916015625 × 2 - 1) × π
    0.47216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48335942184302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48335942184302))-π/2
    2×atan(4.40772825514314)-π/2
    2×1.34769867304738-π/2
    2.69539734609475-1.57079632675     		φ = 1.12460102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12460102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.434892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15656 KachelY 8648 -0.13959225 1.12460102 -7.998047 64.434892
    Oben rechts KachelX + 1 15657 KachelY 8648 -0.13940050 1.12460102 -7.987060 64.434892
    Unten links KachelX 15656 KachelY + 1 8649 -0.13959225 1.12451827 -7.998047 64.430151
    Unten rechts KachelX + 1 15657 KachelY + 1 8649 -0.13940050 1.12451827 -7.987060 64.430151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12460102-1.12451827) × R
    8.27500000000203e-05 × 6371000     		dl = 527.200250000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12460102-1.12451827) × R
    8.27500000000203e-05 × 6371000     		dr = 527.200250000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13940050) × cos(1.12460102) × R
    0.000191749999999991 × 0.431536469195384 × 6371000     		do = 527.181888575471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13940050) × cos(1.12451827) × R
    0.000191749999999991 × 0.431611116119732 × 6371000     		du = 527.273080188147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12460102)-sin(1.12451827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431536469195384-0.431611116119732)×R²
    abs(-0.13940050--0.13959225)×7.46469243486092e-05×R²
    0.000191749999999991×7.46469243486092e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.46469243486092e-05×40589641000000     		ar = 277954.461731827m²