Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15655 / 9913
↖ ↑ ↗
← N 57.745213°
W  8.009033°		 ← 651.97 m → N 57.745213°
W  7.998047°		 →
↑
652.01 m
↓
↑
652.01 m
↓
N 57.739350°
W  8.009033°		 ← 652.08 m →
425 125 m²		 N 57.739350°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477767944335938 y=0.302536010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477767944335938 × 215)
    floor (0.477767944335938 × 32768)
    floor (15655.5)     		tx = 15655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302536010742188 × 215)
    floor (0.302536010742188 × 32768)
    floor (9913.5)     		ty = 9913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15655 / 9913 ti = "15/15655/9913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15655/9913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15655 ÷ 215
    15655 ÷ 32768     		x = 0.477752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9913 ÷ 215
    9913 ÷ 32768     		y = 0.302520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13978400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302520751953125 × 2 - 1) × π
    0.39495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24079870976553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13978400} λ = -0.13978400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24079870976553))-π/2
    2×atan(3.45837459950875)-π/2
    2×1.2893202123332-π/2
    2.57864042466641-1.57079632675     		φ = 1.00784410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13978400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00784410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.745213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15655 KachelY 9913 -0.13978400 1.00784410 -8.009033 57.745213
    Oben rechts KachelX + 1 15656 KachelY 9913 -0.13959225 1.00784410 -7.998047 57.745213
    Unten links KachelX 15655 KachelY + 1 9914 -0.13978400 1.00774176 -8.009033 57.739350
    Unten rechts KachelX + 1 15656 KachelY + 1 9914 -0.13959225 1.00774176 -7.998047 57.739350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00784410-1.00774176) × R
    0.000102339999999979 × 6371000     		dl = 652.008139999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00784410-1.00774176) × R
    0.000102339999999979 × 6371000     		dr = 652.008139999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13978400--0.13959225) × cos(1.00784410) × R
    0.000191749999999991 × 0.533685168715376 × 6371000     		do = 651.970749245543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13978400--0.13959225) × cos(1.00774176) × R
    0.000191749999999991 × 0.533771713143133 × 6371000     		du = 652.07647531536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00784410)-sin(1.00774176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533685168715376-0.533771713143133)×R²
    abs(-0.13959225--0.13978400)×8.65444277569072e-05×R²
    0.000191749999999991×8.65444277569072e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.65444277569072e-05×40589641000000     		ar = 425124.703049603m²