Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15655 / 8575
↖ ↑ ↗
← N 64.778807°
W  8.009033°		 ← 520.56 m → N 64.778807°
W  7.998047°		 →
↑
520.57 m
↓
↑
520.57 m
↓
N 64.774125°
W  8.009033°		 ← 520.65 m →
271 012 m²		 N 64.774125°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477767944335938 y=0.261703491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477767944335938 × 215)
    floor (0.477767944335938 × 32768)
    floor (15655.5)     		tx = 15655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261703491210938 × 215)
    floor (0.261703491210938 × 32768)
    floor (8575.5)     		ty = 8575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15655 / 8575 ti = "15/15655/8575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15655/8575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15655 ÷ 215
    15655 ÷ 32768     		x = 0.477752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8575 ÷ 215
    8575 ÷ 32768     		y = 0.261688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13978400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261688232421875 × 2 - 1) × π
    0.47662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49735699653207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13978400} λ = -0.13978400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49735699653207))-π/2
    2×atan(4.46985959014778)-π/2
    2×1.35069989849962-π/2
    2.70139979699924-1.57079632675     		φ = 1.13060347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13978400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13060347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.778807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15655 KachelY 8575 -0.13978400 1.13060347 -8.009033 64.778807
    Oben rechts KachelX + 1 15656 KachelY 8575 -0.13959225 1.13060347 -7.998047 64.778807
    Unten links KachelX 15655 KachelY + 1 8576 -0.13978400 1.13052176 -8.009033 64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 15656 KachelY + 1 8576 -0.13959225 1.13052176 -7.998047 64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13060347-1.13052176) × R
    8.17100000001236e-05 × 6371000     		dl = 520.574410000788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13060347-1.13052176) × R
    8.17100000001236e-05 × 6371000     		dr = 520.574410000788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13978400--0.13959225) × cos(1.13060347) × R
    0.000191749999999991 × 0.426113944649722 × 6371000     		do = 520.557519756403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13978400--0.13959225) × cos(1.13052176) × R
    0.000191749999999991 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 520.647822257616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13060347)-sin(1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426113944649722-0.426187863772093)×R²
    abs(-0.13959225--0.13978400)×7.39191223707025e-05×R²
    0.000191749999999991×7.39191223707025e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.39191223707025e-05×40589641000000     		ar = 271012.428455192m²