Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15653 / 7925
↖ ↑ ↗
← N 67.655210°
W  8.031006°		 ← 464.42 m → N 67.655210°
W  8.020020°		 →
↑
464.45 m
↓
↑
464.45 m
↓
N 67.651033°
W  8.031006°		 ← 464.50 m →
215 716 m²		 N 67.651033°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477706909179688 y=0.241867065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477706909179688 × 215)
    floor (0.477706909179688 × 32768)
    floor (15653.5)     		tx = 15653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241867065429688 × 215)
    floor (0.241867065429688 × 32768)
    floor (7925.5)     		ty = 7925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15653 / 7925 ti = "15/15653/7925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15653/7925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15653 ÷ 215
    15653 ÷ 32768     		x = 0.477691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7925 ÷ 215
    7925 ÷ 32768     		y = 0.241851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241851806640625 × 2 - 1) × π
    0.51629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62199293554422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14016749} λ = -0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62199293554422))-π/2
    2×atan(5.06317084144559)-π/2
    2×1.37580124840427-π/2
    2.75160249680854-1.57079632675     		φ = 1.18080617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18080617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.655210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15653 KachelY 7925 -0.14016749 1.18080617 -8.031006 67.655210
    Oben rechts KachelX + 1 15654 KachelY 7925 -0.13997575 1.18080617 -8.020020 67.655210
    Unten links KachelX 15653 KachelY + 1 7926 -0.14016749 1.18073327 -8.031006 67.651033
    Unten rechts KachelX + 1 15654 KachelY + 1 7926 -0.13997575 1.18073327 -8.020020 67.651033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18080617-1.18073327) × R
    7.29000000001534e-05 × 6371000     		dl = 464.445900000977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18080617-1.18073327) × R
    7.29000000001534e-05 × 6371000     		dr = 464.445900000977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14016749--0.13997575) × cos(1.18080617) × R
    0.000191739999999996 × 0.380179311035165 × 6371000     		do = 464.4177471746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14016749--0.13997575) × cos(1.18073327) × R
    0.000191739999999996 × 0.380246736168163 × 6371000     		du = 464.500112067852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18080617)-sin(1.18073327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380179311035165-0.380246736168163)×R²
    abs(-0.13997575--0.14016749)×6.74251329980669e-05×R²
    0.000191739999999996×6.74251329980669e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.74251329980669e-05×40589641000000     		ar = 215716.045677618m²