Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15652 / 9904
↖ ↑ ↗
← N 57.797944°
W  8.041992°		 ← 651.02 m → N 57.797944°
W  8.031006°		 →
↑
651.05 m
↓
↑
651.05 m
↓
N 57.792089°
W  8.041992°		 ← 651.13 m →
423 882 m²		 N 57.792089°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477676391601562 y=0.302261352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477676391601562 × 215)
    floor (0.477676391601562 × 32768)
    floor (15652.5)     		tx = 15652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302261352539062 × 215)
    floor (0.302261352539062 × 32768)
    floor (9904.5)     		ty = 9904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15652 / 9904 ti = "15/15652/9904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15652/9904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15652 ÷ 215
    15652 ÷ 32768     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9904 ÷ 215
    9904 ÷ 32768     		y = 0.30224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30224609375 × 2 - 1) × π
    0.3955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24252443815186))-π/2
    2×atan(3.4643479674485)-π/2
    2×1.28978037422592-π/2
    2.57956074845184-1.57079632675     		φ = 1.00876442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00876442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.797944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15652 KachelY 9904 -0.14035924 1.00876442 -8.041992 57.797944
    Oben rechts KachelX + 1 15653 KachelY 9904 -0.14016749 1.00876442 -8.031006 57.797944
    Unten links KachelX 15652 KachelY + 1 9905 -0.14035924 1.00866223 -8.041992 57.792089
    Unten rechts KachelX + 1 15653 KachelY + 1 9905 -0.14016749 1.00866223 -8.031006 57.792089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00876442-1.00866223) × R
    0.000102190000000002 × 6371000     		dl = 651.052490000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00876442-1.00866223) × R
    0.000102190000000002 × 6371000     		dr = 651.052490000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.00876442) × R
    0.000191749999999991 × 0.532906643614054 × 6371000     		do = 651.019672424658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.00866223) × R
    0.000191749999999991 × 0.532993111356728 × 6371000     		du = 651.125304812967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00876442)-sin(1.00866223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532906643614054-0.532993111356728)×R²
    abs(-0.14016749--0.14035924)×8.64677426739568e-05×R²
    0.000191749999999991×8.64677426739568e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.64677426739568e-05×40589641000000     		ar = 423882.365254622m²