Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15652 / 8580
↖ ↑ ↗
← N 64.755390°
W  8.041992°		 ← 521.01 m → N 64.755390°
W  8.031006°		 →
↑
521.02 m
↓
↑
521.02 m
↓
N 64.750704°
W  8.041992°		 ← 521.10 m →
271 480 m²		 N 64.750704°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477676391601562 y=0.261856079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477676391601562 × 215)
    floor (0.477676391601562 × 32768)
    floor (15652.5)     		tx = 15652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261856079101562 × 215)
    floor (0.261856079101562 × 32768)
    floor (8580.5)     		ty = 8580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15652 / 8580 ti = "15/15652/8580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15652/8580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15652 ÷ 215
    15652 ÷ 32768     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8580 ÷ 215
    8580 ÷ 32768     		y = 0.2618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2618408203125 × 2 - 1) × π
    0.476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49639825853967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49639825853967))-π/2
    2×atan(4.46557621958116)-π/2
    2×1.35049554408181-π/2
    2.70099108816362-1.57079632675     		φ = 1.13019476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13019476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.755390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15652 KachelY 8580 -0.14035924 1.13019476 -8.041992 64.755390
    Oben rechts KachelX + 1 15653 KachelY 8580 -0.14016749 1.13019476 -8.031006 64.755390
    Unten links KachelX 15652 KachelY + 1 8581 -0.14035924 1.13011298 -8.041992 64.750704
    Unten rechts KachelX + 1 15653 KachelY + 1 8581 -0.14016749 1.13011298 -8.031006 64.750704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13019476-1.13011298) × R
    8.17799999999202e-05 × 6371000     		dl = 521.020379999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13019476-1.13011298) × R
    8.17799999999202e-05 × 6371000     		dr = 521.020379999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.13019476) × R
    0.000191749999999991 × 0.426483656521353 × 6371000     		do = 521.009174289978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.13011298) × R
    0.000191749999999991 × 0.426557624718173 × 6371000     		du = 521.099536742465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13019476)-sin(1.13011298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426483656521353-0.426557624718173)×R²
    abs(-0.14016749--0.14035924)×7.39681968199846e-05×R²
    0.000191749999999991×7.39681968199846e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.39681968199846e-05×40589641000000     		ar = 271479.93846275m²