Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15652 / 8516
↖ ↑ ↗
← N 65.053602°
W  8.041992°		 ← 515.25 m → N 65.053602°
W  8.031006°		 →
↑
515.29 m
↓
↑
515.29 m
↓
N 65.048968°
W  8.041992°		 ← 515.34 m →
265 525 m²		 N 65.048968°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477676391601562 y=0.259902954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477676391601562 × 215)
    floor (0.477676391601562 × 32768)
    floor (15652.5)     		tx = 15652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259902954101562 × 215)
    floor (0.259902954101562 × 32768)
    floor (8516.5)     		ty = 8516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15652 / 8516 ti = "15/15652/8516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15652/8516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15652 ÷ 215
    15652 ÷ 32768     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8516 ÷ 215
    8516 ÷ 32768     		y = 0.2598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2598876953125 × 2 - 1) × π
    0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50867010484241))-π/2
    2×atan(4.52071471821308)-π/2
    2×1.35309793341331-π/2
    2.70619586682662-1.57079632675     		φ = 1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15652 KachelY 8516 -0.14035924 1.13539954 -8.041992 65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 15653 KachelY 8516 -0.14016749 1.13539954 -8.031006 65.053602
    Unten links KachelX 15652 KachelY + 1 8517 -0.14035924 1.13531866 -8.041992 65.048968
    Unten rechts KachelX + 1 15653 KachelY + 1 8517 -0.14016749 1.13531866 -8.031006 65.048968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13539954-1.13531866) × R
    8.08800000000609e-05 × 6371000     		dl = 515.286480000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13539954-1.13531866) × R
    8.08800000000609e-05 × 6371000     		dr = 515.286480000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.13539954) × R
    0.000191749999999991 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 515.251033538387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.13531866) × R
    0.000191749999999991 × 0.421843534980997 × 6371000     		du = 515.340619691509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13539954)-sin(1.13531866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.421843534980997)×R²
    abs(-0.14016749--0.14035924)×7.33327396956196e-05×R²
    0.000191749999999991×7.33327396956196e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.33327396956196e-05×40589641000000     		ar = 265524.97280027m²