Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15652 / 6356
↖ ↑ ↗
← N 73.365640°
W  8.041992°		 ← 349.71 m → N 73.365640°
W  8.031006°		 →
↑
349.77 m
↓
↑
349.77 m
↓
N 73.362494°
W  8.041992°		 ← 349.77 m →
122 329 m²		 N 73.362494°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477676391601562 y=0.193984985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477676391601562 × 215)
    floor (0.477676391601562 × 32768)
    floor (15652.5)     		tx = 15652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193984985351562 × 215)
    floor (0.193984985351562 × 32768)
    floor (6356.5)     		ty = 6356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15652 / 6356 ti = "15/15652/6356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15652/6356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15652 ÷ 215
    15652 ÷ 32768     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6356 ÷ 215
    6356 ÷ 32768     		y = 0.1939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1939697265625 × 2 - 1) × π
    0.612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92284491755969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92284491755969))-π/2
    2×atan(6.840391162913)-π/2
    2×1.42563414679147-π/2
    2.85126829358294-1.57079632675     		φ = 1.28047197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28047197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.365640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15652 KachelY 6356 -0.14035924 1.28047197 -8.041992 73.365640
    Oben rechts KachelX + 1 15653 KachelY 6356 -0.14016749 1.28047197 -8.031006 73.365640
    Unten links KachelX 15652 KachelY + 1 6357 -0.14035924 1.28041707 -8.041992 73.362494
    Unten rechts KachelX + 1 15653 KachelY + 1 6357 -0.14016749 1.28041707 -8.031006 73.362494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28047197-1.28041707) × R
    5.49000000000799e-05 × 6371000     		dl = 349.767900000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28047197-1.28041707) × R
    5.49000000000799e-05 × 6371000     		dr = 349.767900000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.28047197) × R
    0.000191749999999991 × 0.286263022969441 × 6371000     		do = 349.710144683104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14016749) × cos(1.28041707) × R
    0.000191749999999991 × 0.286315625032008 × 6371000     		du = 349.774405427367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28047197)-sin(1.28041707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286263022969441-0.286315625032008)×R²
    abs(-0.14016749--0.14035924)×5.26020625671864e-05×R²
    0.000191749999999991×5.26020625671864e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.26020625671864e-05×40589641000000     		ar = 122328.621118139m²