Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15651 / 9903
↖ ↑ ↗
← N 57.803798°
W  8.052979°		 ← 650.91 m → N 57.803798°
W  8.041992°		 →
↑
650.99 m
↓
↑
650.99 m
↓
N 57.797944°
W  8.052979°		 ← 651.02 m →
423 772 m²		 N 57.797944°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477645874023438 y=0.302230834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477645874023438 × 215)
    floor (0.477645874023438 × 32768)
    floor (15651.5)     		tx = 15651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302230834960938 × 215)
    floor (0.302230834960938 × 32768)
    floor (9903.5)     		ty = 9903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15651 / 9903 ti = "15/15651/9903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15651/9903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15651 ÷ 215
    15651 ÷ 32768     		x = 0.477630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9903 ÷ 215
    9903 ÷ 32768     		y = 0.302215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302215576171875 × 2 - 1) × π
    0.39556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24271618575034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14055099} λ = -0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24271618575034))-π/2
    2×atan(3.46501231154272)-π/2
    2×1.28983146186562-π/2
    2.57966292373124-1.57079632675     		φ = 1.00886660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00886660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.803798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15651 KachelY 9903 -0.14055099 1.00886660 -8.052979 57.803798
    Oben rechts KachelX + 1 15652 KachelY 9903 -0.14035924 1.00886660 -8.041992 57.803798
    Unten links KachelX 15651 KachelY + 1 9904 -0.14055099 1.00876442 -8.052979 57.797944
    Unten rechts KachelX + 1 15652 KachelY + 1 9904 -0.14035924 1.00876442 -8.041992 57.797944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00886660-1.00876442) × R
    0.000102179999999841 × 6371000     		dl = 650.988779998985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00886660-1.00876442) × R
    0.000102179999999841 × 6371000     		dr = 650.988779998985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(1.00886660) × R
    0.000191749999999991 × 0.532820178768629 × 6371000     		do = 650.914043575742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(1.00876442) × R
    0.000191749999999991 × 0.532906643614054 × 6371000     		du = 651.019672424658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00886660)-sin(1.00876442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532820178768629-0.532906643614054)×R²
    abs(-0.14035924--0.14055099)×8.64648454244055e-05×R²
    0.000191749999999991×8.64648454244055e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.64648454244055e-05×40589641000000     		ar = 423772.121078008m²